多元函数极值的判定

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

引言 (1)

1定理中用到的定义 (2)

2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5)

3多元函数极值判定定理的应用 (7)

参考文献 (8)

多元函数极值的判定

摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值.

关键词：极值；条件极值；偏导数；判定

The judgement of the extremum of the function of many

variables

Abstract ：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables .

Keywords : extremum; conditional ;partial derivative

引言

在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二

元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去.

1 定理中用到的定义

定义 1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 内有定义.若对于任何点0(,)()P x y U P ∈，成立不等式

0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），

则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点.

定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在

0x 的某一领域内有定义，则当极限

0000000

(,)

(,)(,)

lim

x xf x y f x x y f x y x

x

→+-=

存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作

00(,)

x y f x

∂∂.

定义1.3[]3 设n D R ⊂为开集，12(,,,)n P x x x D ∈ ，0000122(,,,)P x x x D ∈

:f D R

→，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有

000

()()()

lim

P P f P f P A P P P P →----,

则称n 元函数12(,,,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为

0()f P '.

注1：01122(,,,)T n n P P x x x x x x '''-=--- 为n 维列向量.

注2

：0P P -=

注3：在导数存在的条件下，可求得：012

()(,,,)n

f

f

f f P A x x x ∂∂∂'==∂∂∂ ,

它是一个n 维向量函数.

定义 1.4[]3 （二阶导数）若n 元函数f 的一阶导数f '在D （或D 内某一点）上可微，则称f 在D （或D 内某一点）上二阶可微，并定义n 维向量函数()T f '的导数为f 的二阶导数，记作()f P ''，并可求得

2

2

2

21

21122

2

221222

22

2

12()n n n

n

n f f f

x x x x x f f f f P x x x x x f f f x x x x x ⎛

⎫∂∂∂ ⎪

∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪

∂∂∂

⎪

''=∂∂∂∂∂

⎪ ⎪

⎪ ⎪

∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂⎝

⎭

此矩阵为f 在P 点的Hesse 矩阵.在二阶混合偏导数连续的条件下，它是一个对称矩阵. n 元函数f 在点0P 的二阶Taylor 公式可简单地写成：

00000001()()()()()()()()2

T n

f P f P f P P P P P f P P P O P P '=+-+

--+-.

2 函数极值的判定定理

对于二元函数的无条件极值的判定，先给出数学分析教材中有的相应的判定定理.

定理2.1[]1 （必要条件）若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域内偏导数存在，切点00(,)x y 是是其极值点，则

0000(,)

(,)

0f x y f x y x

y

∂∂=

=∂∂.

定理2.2[]1 （充分条件）设点00(,)x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且在点

00(,)x y 的某领域内有二阶连续偏导数存在.记

2

2

2

2

0000002

2

(,)

(,)

(,)

,,,,f x y f x y f x y A B C AC B x

x y

y

∂∂∂=

=

=

=-∂∂∂∂

则1）当0< 时，点00(,)x y 不是函数的极值点;2）当0> 是，若0A >,则点

00(,)x y 是函数的极小值点，若0A <,则点00(,)x y 是函数的极大指点；3)当

0= 时，该方法不能判断其是不是极值点.

注3：对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个定理能解决绝大多数的我们碰到的问题（除了0= 的情形）.

利用定义1.3和定义1.4，我们可以将这定理2.1和定理2.2推广到二元以上的函数中去.

定理2.3 （必要条件）设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y f x x x = 在点0P D ⊂可微，且在该点取得极值，则0()0f P '=（此0表示n 维向量

(0,0,,0) ）.

证明 由费马定理知当f 在0P 点取得极值时，

012

()(

,,,

)0n

f

f

f f P x x x ∂∂∂'==∂∂∂ .

定理2.4（充分条件）设n D R ⊂为开集，n 元实函数12(,,,)n y f x x x = 在