高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)

三角函数专题

一、方法总结：

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2

x ＋sin 2

x 。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝

2

β

α+－

2

β

α-等。

（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝

a

b

确定。 2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、例题集锦： 考点一：三角函数的概念

1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6

π

=

∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．

（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-6cos πα的值； （2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．

考点二：三角函数的图象和性质

2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π

=+，④tan 24y x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭中，最小

正周期为π的所有函数为 （ ）

A.①②③

B. ②③④

C. ②④

D. ①③

3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x π

ω=+

在(,)2

π

π上单调递减，则ω的取值范围是（ ）

A.15[,]24

B.13

[,]24

C.10,2⎛⎤ ⎥⎝

⎦

D.()0,2

4.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2

f x x x π

ωϕωϕωϕ=+++><

的最小正周期为π，且

()()f x f x -=，则（ ）

A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减

B. ()f x 在3,44ππ

⎛⎫

⎪⎝⎭

单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44

ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

单调递增

5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫

=+<

⎪⎝

⎭

的图象向左平移

6

π

个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

的最小值为 A ．12- B ．1

2

C

．

6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A ωφωφπ

=+>><部分图象如图所示．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2

x π∈上的最大值和最小值．

考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换

7.已知函数2

()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2

π

． （Ⅰ）求()4

f π

的值； （Ⅱ）当02x π⎡

⎤

∈⎢⎥⎣

⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.

8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r

（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且'

3()2()f x f x =-，求tan()4

x π

+的值.

考点六：解三角形

9．ABC ∆中，角,,A B C

成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是

A ．()()sin cos f A f

B ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥

C ．()()sin sin f A f B ≥

D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .

12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则

2

ab

c 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足

()2

22.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r

（1）求角A 的大小； （2

）求2

4sin()23

C B π

--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.

14．（2009全国II ， 17，10分） 设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2

A C

B +=-，2b ac =.求B ∠的大小.

14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin B

C

∠∠；（2

）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.

15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B

a A

-=

． （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．