05年北航矩阵论试题

2005年北航考博题目

数学： 矩阵论

1、已知β=(1，3，-3)T ，α1=(1，2，0)T ，α2=(1，a+2，-3a)T ，α3=(-1，-b-2，a+2b)T ，求当a,b 为何值时，(1)β不能用α1…α3线性表示；(2)β能用α1…α3唯一表示，并写出表示式；(3)β能用α1…α3线性表示且不唯一，并写出表示式。

2、f(x 1,x 2,x 3)=2x 12+3x 22+3x 32+2ax 2x 3(a>0)，通过正交线性替换化为标准形f=y 12+2y 22+5y 32，求a 及所用的正交线性替换。

3、x 0是Ax=b 的一个解向量，α1…αn-r 为齐线性方程组的基础解系，求：(1)x 0,α1…αn-r 线性无关；(2)x 0，x 0+α1…x 0+αn-r 是Ax=b 的n-r+1 个线性无关的向量；(3)Ax=b 任何一个解可表示成x=x 0k 0+k 1(x 0+α1)+…+k n-r (x 0+αn-r )，且k 0+k 1+…+k n-r =1。

4、A 、B 、C 、D 是n*n 矩阵，A 可逆且AC=CA ，证：A B AD CB C D

=- 5、发v1、v2为线性空间，证dim(v1)+dim(v2)=dim(v1+v2)+dim(v1∩v2).

6、画出A 的所有盖氏圆盘，各圆盘表达式，并用盖氏圆盘定理证A 至少有2个实特征值，也至多有2个虚特征值，指出各特征值所在区间。

7、设010

301010

A =可代为对角矩阵，并求A 9 的谱分解式。

8、A=

010001000，计算e At ，t 为实变量。 9、A=

120000001101，求A{1}。