数学家刘徽的成就

32高师理科学刊第30卷

The existence of the limit of bivariate function about the univariate form

CAO Hui-zhen

（Department of Science ，College of Oujiang ，W enzhou University ，Wenzhou 325035，China ）

Abstract ：The limit questions o f biv ariate function about the univariate fo rm w ere explored ，so me co nclusions abo ut existence o f the limit and limit o peration w ere o btained through the comparison of definitio n of univariate and biv ariate functio n ．

Key w ords ：bivariate function ；existence o f the limit ；limit operation

数学家刘徽的成就

江献

提到圆周率π和球体积公式，人们首先想到的是祖冲之父子．其实，祖冲之父子这2项伟大的数学成就皆应归功于数学家刘徽．刘徽（公元225-295），魏晋时期中国最杰出的数学家[1]．他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上均有深远影响，对现代数学的发展具有重大贡献．

1刘徽的割圆术

割圆术是刘徽为《九章算术》方田章圆田术作注时引入的．《九章算术》提出了圆田术：半周半径相乘得积步．即圆面

积公式Lr S 5.0=，其中：r L S ,,分别是圆面积、周长和半径[2]．刘徽指出圆周率“非周三径一之率也．周三者从其六觚之环

耳”．就是说，周三仅是圆内接正六边形之周长，而不是圆周长[3]90．为此，刘徽提出了割圆术．从圆的内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积[4]78．

刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”[5]，也就是说，当分割的次数无限增加时，则存在圆内接正多边形面积的极限，此极限就是圆面积．

刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径r 为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数后2位的近似值14.3π≈，化成分数为50/157，这就是有名的“徽率”．刘徽还进一步声明:“此率尚微少”[6]．200多年后，南北朝杰出的数学家、天文学家祖冲之（公元429-500）及其儿子祖暅一起利用刘徽的割圆术方法，一直算到正57624边形，得圆周率

16592141.3，后经过艰辛的计算得出圆周率π的8位可靠数字：7592141.3π6592141.3<<．这不但在当时是最精密的圆周率，而且这个数字在全世界保持领先地位1000多年[7]．

2刘徽关于球体积的研究

刘徽首先指出了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体

积公式的正确途径[4]82．他作球的外切立方体，同时用2个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿，这时球就被包含在2圆柱

相交的公共部分中，而且与圆柱相切．刘徽只保留2圆柱的公交部分，给它取名为“牟合方盖”．

将球和“牟合方盖”用水平截面去截，其面积之比恒为4

:π[3]104，利用“出入相补原理”：一个平面图形从一处移置它处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系．立体的情形也是如此．刘徽得到球和“牟合方盖”的体积比也为4:π[8]，也就是说，只要求出“牟合方盖”的体积即可得到球的体积．然而，遗憾的是刘徽没有能够直接求出“牟合方盖”的体积．

200多年后，祖冲之父子继续“牟合方盖”的研究，终于得到3

)2)(3/2(r V =牟

，并将刘徽的思想上升为理论，提出了祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异”，这里势指高，幂指截面积[9]．即2个等高立体如果在所有等高处的水平截面积相同，则2个立体的体积相同．将其代入刘徽的结论中即得到熟悉的球体积公式3π/34r V ）（球=．

刘徽数学成就为祖氏父子以及后来数学的发展奠定了坚实的理论基础．然而由于刘徽对一些理论缺乏实际的应用，也使得他与一些重要理论的研究成果失之交臂，使得他在中国乃至世界数学史上的声名和地位远逊于祖氏父子．

参考文献：

[1]赵刊，周宝成．数学趣味史话[M]．成都：西南交通大学出版社，2006：1．

[2]郭书春．关于刘徽的割圆术[J]．高等数学研究，2007（1）：118-120．

[3]李迪．中国数学史简编[M]．沈阳：辽宁人民出版社，1984：90-104．

[4]李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，1999：78-82．

[5]王宗儒．古算今谈[M]．武昌：华中工学院出版社，1986：74．

[6]朱家生．数学史[M]．北京：高等教育出版社，2004：60．

[7]应六英．圆周率-π[J]．江西电力职业技术学院学报，2004（9）：5-8．

[8]吴文俊．《九章算术》与刘徽[M]．北京：北京师范大学出版社，1982：59．

[]李宇袆．“牟合方盖”研究[]．雁北师范学院学报，3（）：．

（作者单位：曲靖师范学院教师教育学院，云南曲靖655）9J 20010108-109011