(精品)初中数学讲义7特殊二次函数图像与性质二(教师版)
第7课时特殊二次函数的图像与性质(二)
课时目标
1、会画特殊二次函数的图像,掌握特殊函数的图象与性质
2、能判断一个函数的开口方向、对称轴、顶点和y 随x 的变化趋势
知识精要
一、复习
1、形如2
ax y =(0≠a )的二次函数的图像特征
(1)二次函数的2
ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线。
(2)这条抛物线关于y 轴对称,y 轴就是抛物线的对称轴,即直线x =0。
(3)对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,顶点是原点。注意:顶点不是与y 轴的交点(顶点纵坐标不是截距)。
(4)抛物线的开口方向(由a 所取值的符号决定):
当0a >时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点; 当0a <时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。
2、形如c ax y +=2
(0≠a )的二次函数的图像特征
(1)对称轴是y 轴,即直线x =0。 (2)顶点坐标是(0,c )。
(3)抛物线的开口方向(由a 所取值的符号决定):
当o a >时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点; 当o a <时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。
(4)函数2
ax y =(0≠a )的图像个单位时,向下平移当个单位
时,向上平移当c c c c 00<>??
?????→?函数c ax y +=2(0≠a )的图像
二、新授课
3、形如()2
m x a y +=(0≠a )的二次函数的图像特征
(1)函数2
)(m x a y +=的图像的对称轴是过点(-m ,0)且平行(或重合)于y 轴的直线,即直线m x -=;
(2)函数2
)(m x a y +=的图像的顶点坐标是(-m ,0) (3)抛物线的开口方向(由a 所取值的符号决定):
当o a >时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点; 当o a <时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。
(4)函数2ax y =(0≠a )的图像个单位
时,向右平移当个单位时,向左平移当m m m m 00<>???????→?函数2
)(m x a y +=的图像
热身练习
1、二次函数2
2
1x y =的顶点坐标是 (0,0) ,对称轴是直线0=x 。 2、在函数2
22)1(,32
1,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中,其图像的对称轴是y 轴的有( B )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
3、抛物线2
2
1x y -=不具有的性质是( D )
A .开口向下;
B .对称轴是y 轴;
C .当x > 0时,y 随x 的增大而减小;
D .函数有最小值
4、抛物线322
--=x y 的开口 向下 ,对称轴是直线 0=x ,顶点坐标是(0,-3), 当0
向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为23
1
2-=x y ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为13
12
+=
x y ,并分别写出这两个函数的顶点坐标(0,-2) 、 (0,1) 。 6、二次函数c ax y +=2
()0≠a 中,若当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时,函数值相等,则当x 取x 1+x 2时,函数
值等于 c 。
7、已知抛物线2
)3(2+-=x y 的顶点为A ,与y 轴交点为B ,O 为坐标原点,则三角形OAB 的面积为________。 8、如果二次函数顶点在x 轴上,经过点(1,1)且在对称轴x=-2的左侧部分是下降的,那么这个二次函
数的解析式是2)3(9
1
+=
x y 。 9、已知函数:221x y -
=, 3212+-=x y 和12
1
2--=x y 。 (1)分别画出它们的图像;
(2)说出各个图像的开口方向,对称轴和顶点坐标;
(3)说出函数6212
+-=x y 的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标; (4)函数3212+-=x y 、1212--=x y 、6212+-=x y 的图像分别由抛物线2
2
1x y -=作怎样的平移
才能得到?
(2)(3)解答: 抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标 22
1x y -
=
向下 直线
0=x
(0,0) 32
12
+-
=x y 向下 直线
0=x
(0,3) 12
12
--
=x y 向下
直线
0=x
(0,-1) 62
12
+-
=x y 向下 直线
0=x
(0,6)
精解名题
例1、已知函数2
x y =,2
)1(-=x y 和2
)1(+=x y 。 (1)在同一坐标系中画出它们的图像;
(2)分别说出各个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(3)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线2
x y =得到抛物线2
)1(-=x y 和2
)1(+=x y ?
解:(1)图略;
(2) 2
x y =开口向上,对称轴为y 轴,顶点(0,0);2
)1(-=x y 开口向上,对称轴为直线x=1,顶点(1,0);
2)1(+=x y 开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点(-1,0)。
(3) 2
x y =向右平移1个单位可得2
)1(-=x y ;向左平移1个单位可得到2
)1(+=x y
例2、抛物线2)2(31-=
x y 的图象可由抛物线23
1
x y =向 右 平移 2 个单位得到,它的顶点坐标是 (2,0) ,对称轴是 直线x=2 。
例3、二次函数()2
h x a y -=的图像如图:已知2
1
=
a ,OA =OC ,试求该抛物线的解析式。
解:()222
1
-=x y
例4、某塑料大棚的横截面如图所示,曲线部分近似看做抛物线。现测得AB=6米,最高点D 到地面AB 的距离DO=2.5米,点O 到墙BC 的距离OB=1米。借助图中的直角坐标系,回答下列问题
(1)写出点A 、B 的坐标; (2)抛物线的解析式; (3)求墙高BC. 解:(1)(50)(10)A B -,、,
(2)(02.5)D ,设21
2.510
y ax a =+=-
,
2
1 2.510
y x
=-
+ (3)15
1, 2.4102x y m
==-+= 例5、如图,竖立在点B 处的标杆AB 长2.1米,某测量工作人员站在D 点处,此时人眼睛C 与标杆顶端A 、树顶端E 在同一直线上(点D 、B 、F 也在同一直线上,已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米,且BD = 1米,BF = 5米,求所测量树的高度.
解:过C 点作CH ⊥EF ,交AB 与G 交EF 于H . 由题意得AB ⊥DF ,EF ⊥DF ,∴AB ∥EF . ∴
AG CG EH
CH
=
.易得CG=DB=1(米),CH=DF=6(米),0.5AG AB CD =-=(米)
∴3EH =.∴树高为4.6米.
例6、如图,直线l 的解析式为y=-x+4,它与x 轴,y 轴分别相交于A,B 两点。平行于直线l 的直线m 从原点O 出发,沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x 轴,y 轴分别相交于M ,N 两点,设运动时间为t 秒(0 (1)含t 的代数式表示MON 的面积; (2)以MN 为对角线作矩形OMPN,记MPN OAB 和重合部分的面积为y , ①当0 516 ? 解:(1)22MON t S =;(2)①2 2 (02)231616(24) 2 t y t t t y t ?=<≤???-+-?=<≤??, B C A 树 标 杆人F E D (第5题图) ②23161654457 ==3216223 t t t t -+-??==由 得,或 巩固练习 1、二次函数2 4 1x y = 的图像开口 向上 ,当x > 0时,y 随x 的增大而 增大 ; 当x < 0时,y 随x 的增大而 减小 ;当x = 0时,函数y 有最 小 值是 0 。 2、二次函数2 3x y -=的图像开口 向下 ,当x > 0时,y 随x 的增大而 减小 ; 当x < 0时,y 随x 的增大而 增大 ;当x = 0时,函数y 有最 大 值是 0 。 3、已知点A (2,1y ),B (4,2y )在二次函数2 3x y -=的图像上,则1y > 2y . 4、已知点()()122,,4,A y B y -在二次函数()2 0y ax a =>的图像上,则1y <2y . 5、任给一些不同的实数k ,得到不同的抛物线k x y +=2 ,当k 取0,1±时,关于这些抛物线有以下判断: ①开口方向都相同;②对称轴都相同;③形状相同;④都有最低点。其中判断正确的是①②③④。 6、将抛物线122 -=x y 向上平移4个单位后,所得的抛物线是322 +=x y , 当x = 0 时,该抛物线有最 小 (填大或小)值,是 0 。 7、二次函数2 6y x x c =-+的顶点在x 轴上,那么c=9 8、已知抛物线2 22y x x a =-+-与x 轴只有一个交点,求a 的值。 解:抛物线2 22y x x a =-+-与x 轴只有一个交点,即方程2 220x x a -+-=只有一个解。△=4-4(2-a)=0, a=1 9、抛物线()() 422 2 -+-+=m x m x y 的顶点在原点,则=m 2 . 10、在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD 相似的图形''''A B C D (其中AB 的对应边''A B 已在图中给出). 自我测试 A C (第18题图) B D B ’ A ’ 1、抛物线2 2 28 , 5 , 4 1 x y x y x y= - = =共有的性质是( D ) A.开口方向相同 B.开口大小相同C.当x> 0时,y随x的增大而增大D.对称轴相同 2、如图,函数2 y ax =和y ax b =-+在同一坐标系中的图像可能为( D ) 3、已知抛物线m m x m y- - =2 )1 (的开口向下,则m的值为 -1 。 4、图6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图6(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是(C) A.2 2 y x =-B.2 2 y x =C.2 1 2 y x =-D.2 1 2 y x = 5、抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c等于( D ) A.-16 B.-4 C.8 D.16 6b 2)0 ≠ C )(A)(B)(C)(D 7、如果抛物线4 )1 ( 2+ - + =x k x y与x轴有且只有一个交点,那么正数k的值是…( C ) (A)3;(B)4;(C)5;(D)6. 8、把抛物线2x y- =向上平移2个单位,那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是2 2. 9、已知:点G是ABC的重心,过点G做直线k BC交AB于E,AC于F. (1)求证:1 BE CF AE AF += (2)当直线k绕点G旋转时, CF BE AF AE 和又保持着怎样的关系? 图6(1)图6(2) x y x y x y x y 解:(1)联结AG 并延长交BC 于点H ,由三角形一边平行线定理得, ,BE GH CF GH AE AG AF AG == 从而得, +=2=1BE CF GH AE AF AG 。 (2)联结AG 并延长交BC 于点D ,过B,C 分别做,BM AG CN AG 交直线EF 于点M ,N 。既可以得出 1BE CF AE AF +=仍然成立。 10、已知,线段OA OB ⊥,C 为OB 中点,D 为AO 上一点,连AC ,BD 交于P 点。 (1) 如图1,当OA=OB 且D 为AO 中点时,求AP PC 的值; (2) 如图2,当OA=OB , 1 4 AD AO =时,求AD:DP 的值; (3) 如图3,当AD:AO:OB=1:n :AD:DP 的值。 图1 图2 图3 解:(1)过D 做DE OB 141222 PE AP PC PC ===然后利用三角形一边平行线定理的推论得,从而知道 (2)过D 做DE OB 设AD=1,则DO=3再由OA=OB 得到BC=CO=2,BD=5再利用三角形一边平行线性质定理的推论得 1 4 PD BP =从而得出PD=1.即AD:DP=1:1. (3)用同样的方法设AD=1,从而得出BD=n+1,进一步得出PD=1即:AD:DP=1:1.仍然成立。 第12讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念. 2.会用描点法画二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质. 3.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并会求解二次函数的最值问题. 4.熟练掌握二次函数解析式的求法,并能用它解决有关的实际问题. 5.会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数2 y ax bx c =++,配方为2 2424b ac b y a x a a -??=++ ??? ,顶点坐标是(2b a -,244ac b a -),对称轴是a =2b a - ,与y 轴交点坐标是(0,c ),与x 轴交点的横坐标是20ax bx c ++=的根,当a >0时,抛物线开口向上,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;当a <0时,抛物线开口向下,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小. 2. 解答有关二次函数图象问题时,要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点,解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发,通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系,再结合对称轴x =a b 2- ,确定a 、b 之间等量关系,判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2-4ac . 3. 抛物线的平移遵循“左加右减,上加下减”的原则,具体为: (1)上下平移:抛物线y =a (x -h )2+k 向上平移m (m >0)个单位,所得抛物线的解析式为y =a (x -h )2+k +m ;抛物线y =a (x -h )2+k 向下平移m (m >0)个单位,所得抛物线的解析式为y =a (x -h )2+k -m . (2)左右平移:抛物线y=a(x -h)2+k 向左平移n (n>0)个单位,所得抛物线的解析式为y=a(x -h+n)2+k ;抛物线y=a(x -h)2+k 向右平移n (n>0)个单位,所得的抛物线的解析式为y=a(x -h -n)2+k. 特别地,要注意其中的符号处理. 【解题策略】 1. (1)二次函数y =2ax bx c ++(≠0)的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系: ,, 的代数式 决定图象特征 说明 决定抛物线的开口方向 >0 开口向上 <0 开口向下 决定抛物线与y 轴交点 的位置,交点坐标为 >0 与y 轴交点在轴上方 =0 抛物线过原点 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗? 二次函数与方程(组) 1.如图,已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点.点P 在抛物线上且在x 轴上方,15PBC S =△,求P 点坐标. 【答案】解:作//PD y 轴交BC 延长线于D ,如图, 当0y =时,2230x x --=,解得11x =-,23x =,则(3,0)B , 当0x =时,2233y x x =--=-,则(0,3)C -, 设直线BC 的解析式为y kx b =+, 把(3,0)B ,(0,3)C -代入得30 3k b b +=??=-?, 解得1 3k b =??=-? , ∴直线BC 的解析式为3y x =-; 设2(,23)P x x x --,则(,3)D x x -, 2223(3)3PD x x x x x ∴=----=-, 21 3(3)2 PBC PBD PCD S S S x x ???=-=??-, ∴21 3(3)152 x x ??-=, 解得12x =-,25x =, P ∴点坐标为(2,5)-或(5,12). 2.已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,点P 在抛物线上,且在第四象限,若3PBC S =△,求P 点坐标. 【答案】易得()30B , ,()03C -,,直线BC :3y x =- 设()223P x x x --,,作PH x ⊥轴交BC 于D 则()223233PD x x x x x =----=-+ ∵() 21 3332 PBC S x x =??-+=△ ∴2320x x -+= ∴()14P -, 或()23-, 3.如图,抛物线257 266 y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点,与y 轴交于B 点,点H 在抛物 线上,BH 交x 轴于M 点,若MBA BAM ∠=∠,求H 点的坐标. 【答案】令257 2066 x x -++=,可得257120x x --=,()()51210x x -+= ∴()10A -, ,()02B , 作MH AB ⊥于H 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 复习引入: (一)在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = (X T)2+1与y = (x-1 )2+1的图像列表(取点原则:取原点及左右对称点) 描点、连线 分 (1)函数y(x 1)2+1与y(x-1 )2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析: (2)产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 (3)这三个二次函数若与坐 总结:y =a(x m)2 k的图像性质(左加右减,上加下减) a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时,y 随x 的增大而增大;x £ —m 时, y 随x 的增大而减小;x = -m 时,y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时,y 随x 的增大而减小;x £ —m 时, y 随x 的增大而增大;x = -m 时,y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ,确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变,将其顶点平移到(-m,k)处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位,再向下平移 3个单位,得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位,再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ¥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0【精选】2020年中考考点讲练案第12讲 二次函数(教师版)
二次函数的图像及性质
二次函数与方程(组)-教师版
二次函数图像与性质总结
3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)
二次函数的图像和性质总结