传染病模型PPT
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5.1传染病模型
12应用数学郭爽
问题分析
• 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题， 其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及 一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模 型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问 题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人 数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建 立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少 数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型， 我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的 连续可微函数。
假设
• 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染 人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的 感染人数。 2、假设环境条件下所允许的 最大可感染人数为 N 。单位时间内感染人 数的增长率是感染人数的线性函数，最大 感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的 感染人数。
wk.baidu.com
• 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染 者，易感染者因与患病者接触而得病，建 立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系， 并对传染情况（如流行趋势，是否最终消 灭）进行预测
模型二：SI模型
• 假设条件为 • 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变， 即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感 染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两 类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型）， 以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总 人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病 人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接 触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感 染变为病人。
• 模型1 • 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人 数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病 人有效接触（足使人致病）的人数为常数λ， 考察t到t+Δt病人人数的 增加就有 • x(t+Δt)-x(t)=λx(t)Δt
结果表明，随着t的增加，病人人数x(t) 无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人 群中，有健康人也有病人，而其中只有健康 人才可以被传染为病人，所以在改进的模型 中必须区别这两种人。
12应用数学郭爽
问题分析
• 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题， 其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及 一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模 型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问 题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人 数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建 立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少 数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型， 我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的 连续可微函数。
假设
• 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染 人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的 感染人数。 2、假设环境条件下所允许的 最大可感染人数为 N 。单位时间内感染人 数的增长率是感染人数的线性函数，最大 感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的 感染人数。
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• 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染 者，易感染者因与患病者接触而得病，建 立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系， 并对传染情况（如流行趋势，是否最终消 灭）进行预测
模型二：SI模型
• 假设条件为 • 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变， 即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感 染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两 类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型）， 以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总 人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病 人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接 触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感 染变为病人。
• 模型1 • 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人 数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病 人有效接触（足使人致病）的人数为常数λ， 考察t到t+Δt病人人数的 增加就有 • x(t+Δt)-x(t)=λx(t)Δt
结果表明，随着t的增加，病人人数x(t) 无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人 群中，有健康人也有病人，而其中只有健康 人才可以被传染为病人，所以在改进的模型 中必须区别这两种人。