三章傅里叶变换

(t
)dt
Ki
1
ci
t2 t1
f (t)gi (t)dt
2
1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2 ]
r 1
复变函数的正交特性
复变函数集{gr (t)}(r 1,2,..., n)满足
t2
t1
gi
(t
)
g
* j
(t
)dt
0
t2
t1
gi
(t ) gi* (t )dt
Ki
(i j)在区间(t1,t2 )内
其中T1
2 1
, 在区间内满足
t0 T1
t0
e
jm1t
(e
jn1t
)* dt
T01
(m n) (m n)
3.2 周期信号的傅里叶级数 分析
三角函数的傅里叶级数 指数函数的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系 傅里叶有限级数与最小方均误差
三角函数的傅里叶级数
f
(t )
a0
n1
f
(t)
E 2
4E
2
[cos(1t)
1 32
cos(31t)
1 52
cos(51t)
...]
E 2
4E
2
n1
1 n2
sin 2 ( n
2
) cos(n1t)
频谱只含有直流,
基波及奇次谐波分量.谐波幅度以
1 n2
规律收敛.
周期半波余弦信号
E f (t)
0T
T
t
4
对应傅里叶级数
f
(t)
E
E 2
3.1 引言
信号的正交分解 完备正交集
信号的正交函数分解
二维空间:矢量在直角坐标系中分解为两 个正交矢量的组合,每一个正交矢量都是 原矢量在正交坐标系上的投影.
正交函数:在区间(t1<t<t2)内用函数f2(t) 近似表示f1(t).
f1(t) c12 f2 (t) (t1 t t2 ) 选取c12使得实际函数与近似函数之间的方均
Fn
|2
称为帕塞瓦尔方程.表征了时频域的能量守恒.
函数的对称性与傅里叶 系数的关系
(1)偶函数 : f (t) f (t)
系数为: an
4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
bn 0
信号分解为f (t) a0 an cos n1t n1
(2)奇函数 : f (t) f (t)
[cos(1t)
4
3
cos(21t)
4
15
cos( 41t )
...]
E
2E
n1
1 (n2 1)
cos( n
2
) cos(n1t)
其中1
2
T1
频谱只含有直流,基波和偶次谐波频率分量.
谐波幅度以
1 n2
规律收敛.
周期全波余弦信号
E f (t)
T 0 T
t
2
f (t) E | cos(0t) |
(t
)dt
Ki
则此函数集称为正交函数集.
任意函数由n个正交的函数的线性组合近似 :
f (t) c1g1(t) c2 g2 (t) cn gn (t)
2
1n
t2 t1
t2
ct1r
[gfr((tt))
n
cr gr (t)]2 dt
r 1
由最小t2 1方rt11 均t1t2 [误f 2差(t)准 2则f (,t要) rn1求cr cgir满(t)足 (
f (t) c0 cn cos(n1t 0 ) n1
f (t) d0 dn sin( n1t n ) n1
狄利克雷(Dirichlet)条件
周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充 分条件：
(1)在一周期内,信号是绝对可积的,即
| t0 T1 f (t) | dt 等于有限值. t0
的对应关系找出!
{1, cos1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...,
cos n1t, sin n1t,......}
三角函数集在区间(t0 , t0 T1)内是完备正交
函数集.其中T1
2 1
, 在区间内满足
t0 T1 t0
cos
n1t
sin
m1tdt
0
t0 T1 t0
误差 2在区间t1 t t2内为最小.
2 1
t2 t1
t2 t1
[
f1
(t
)
c12
f
2
(t
)]2
dt
使 2最小的c12,
应有 d 2 dc12
0 c12
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
t2 t1
f22 (t)dt
正交条件
若c12 0,则f1(t)内不包含f2 (t)的分量, 称为正交.
cos
n1t
sin
m1tdt
0
t0 T1 t0
sin
n1t
sin
m1tdt
T1 2 0
(m n 0) (m n)
0
t0 T1 t0
cos
n1t
cos
m1tdt
T1 2
T
(m n) (m n 0) (m n 0)
复指数函数集{e jn1t}(n 0,1,2,......)
在区间(t0,t0 T1)内是完备正交函数集.
其中T1
2 1
, 在区间内满足
t0 T1 t0
e jm1t
(e jn1t )* dt
T01
(m n) (m n)
帕塞瓦尔定理
周期信号的功率特性
P f 2 (t) 1 t0 T1 f 2 (t)dt T1 t0
a0 2
1 2
n1
(an 2
bn2 )
c0 2
1 2
n1
cn 2
|
n
T1 n
2
Page106 不同脉宽下周期矩形信号的频谱
*零点,第一零点: 2m
*频带宽度B:与脉宽关系为反比关系:
B
2
E 10,T1 5,
2
E 10,T1 5,
1
Page105 不同T1下周期矩形信号的频谱
*谱线间隔:与周期关系为反比关系:
1
2
T1
E 10,T1 10,
1
x(t)gi (t)dt
0
(i为任意正整数)
则此函数集成为完备正交函数集.
{1, cos1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...,
cos n1t, sin n1t,......}
三角函数集在区间(t0 , t0 T1)内是完备正交
函数集.其中T1
2 1
, 在区间内满足
t0 T1 t0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
0 T1
t
2
E
2
对应傅里叶级数
f
(t)
E
[sin(
1t )
1 2
sin(
21t)
1 3
sin(
31t)
1 4
sin(
41t)
...]
E
(1)n1
n1
1 n
sin(
n1t
)
频谱只含有正弦分量.谐波幅度以 1 规律收敛. n
周期三角脉冲信号
f (t) E
t
T1 T1 0
2
T1
T1
2
对应傅里叶级数
第三章傅里叶变换
本章要点: 1. 利用傅里叶级数和傅里叶级数的性质对周期信号的离散谱 进行分析 2. 利用傅里叶变换和傅里叶变换的性质对非周期信号的连续 谱进行分析 3. 利用卷积和卷积定理，进一步理解信号的时域和频域特性 间的内在关系 4. 灵活运用傅立叶变换的有关性质对信号进行正逆变换 5. 掌握抽样信号的傅里叶变换和抽样定理
(2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的 数目应是有限个.
(3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有 限个.
指数函数的傅里叶级数
f (t) F (n1)e jn1t n
F (n1)
Fn
1 T1
t0 T1 t0
f (t)e jn1t dt
其中n为所有的整数
请将三角函数表示的频谱 与指数函数表示的频谱
(n为偶数)
an
4 T1
bn
4 T1
T1 2 0
T1 2 0
f (t) cos(n1t)dt
(n为奇数)
f
(t )
cos( n1t )dt
信号分解为f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n 1
n为所有的偶数
吉布斯(Gibbs)现象
page99:用三角函数集取不同的有限项 级数逼近原函数(对称方波).原函数既是 偶函数又是奇谐函数,因此,傅里叶级数 只存在奇次谐波的余弦项. 分析结论:page100
则此复变函数集为正交函数集.
完备正交函数集
定义一 : 如果用正交函数集g1(t), g2 (t),...gn (t)
在(t1,t2 )近似表示函数f (t) cr gr (t) r 1
方均误差为 2 1 t2 t1
[t2
t1
f
(t)
n r 1
cr gr
(t)]2 dt
1[ t2 t1
系数为: an a0 0
bn
4 T1
T1 2
0
f (t) sin( n1t)dt
信号分解为f (t) bn sin( n1t) n1
(3)奇谐函数(半波对称) : f (t) f (t T1 ) 2
系数为: a0 an bn 0 (n为偶数)
an
4 T1
4
bn T1
T1 2 0
(an
cos
n1t
bn
sin
n1t ), 1
2
T1
直流分量 : a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt
t0
余弦分量幅度
: an
2 T1
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt
正弦分量幅度
: bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt
其中n 1,2,....
周期信号的另一种三角 函数正交集表示
r
n 1
cr
g
r
(t
))
2
]dt
ci
f t2
t1 t2
t1
(t)gi (t)dt gi2 (t)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t)gi (t)dt
在最佳近似条件下给定项数的 2 :
2
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
归一化正交函数集：
t2 t1
g
2 i
在(t1,t2 )内正交的条件 :
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt 0
例题:page326 6-1 6-2
正交函数集
n个函数g1(t), g2 (t), gn (t)构成一函数集,
如在区间(t1,t2 )内满足正交特性,即
t2
t1
gi
(t ) g
j
(t)dt
0
(i j)
t2
t1
g
2 i
周期矩形脉冲信号
f (t)
E
T1
0
2
2
T1
t
一个周期[ T1 , T1 ]内 22
E f (t)
0
(t (t
)
2
)
E[u(t
)
2
u(t
)]
2
2
对应傅里叶级数
三角形式:
f
(t)
E
T1
E1
Sa( n1
n1
2
) cos(n1t)
指数形式:
f (t) E Sa( n1 )e jn1t
E 10,T1 5,
1
周期信号频谱特点 : 1.离散性 : 谱线沿频率轴呈离散分布. 2.谐波性 :各谱线间呈等距分布,相邻谱线 间距正好等于基波频率,不可能包含不是 基波整数倍的其他频率分量. 3.收敛性 :| Fn |或者Cn一般随n 总是 趋于零.
周期锯齿脉冲信号
f (t)
E
2
T1
E 10,T1 50,
1
E 10,T1 5,
1
FS FT
f (t)
F (n1 )e jn1t
n
对应傅里叶级数
f
(t)
2E
4E
3
cos(1t )
4E
15
cos(21t)
4E
35
cos(31t)
...
2E
4E
(1)n1
n1
1 (4n2 1)
cos(2n0t)
其中20
1
2
T1
频谱包含直流分量及1的基波和各次谐波分量;
或者说直流分量及0的偶次谐波分量.谐波幅度以
1 n2
规律收敛.
3.4 傅里叶变换
T1 2 0
f (t) cos(n1t)dt
(n为奇数)
f
(t)
cos( n1t )dt
信号分解为f (t) (an cos n1t bn sin n1t) n1
n为所有的奇数
类推:偶谐函数?
(4)偶谐函数(半波重叠) : f (t) f (t T1 ) 2
系数为: a0 an bn 0
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
若令n趋于无限大,有 lim 2 0 n
则此函数集称为完备正交函数集.
定义二 :
如果在正交函数集g1(t), g2 (t),..., gn (t)之外,
不存在有限能量函数x(t),即0 t2 x2 (t)dt t1
满足条件
t2 t1
回顾与思考 :
1.三角型傅里叶级数系数中 1 和 2 的来源. T1 T1
同理可得指数型傅里叶级数系数中 1 T1
2. f (t)对称性与级数所含分量之间的关系. 附录二
3.周期信号单双边频谱的形成,系数之间关系.
3.3 典型周期信号的傅里 叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号
sin
n1t sin
m1tdt
T1 2 0
(m n 0) (m n)
0
t0 T1 t0
cos
n1t
cos
m1tdt
T1 2
T1
(m n) (m n 0) (m n 0)
复指数函数集{e jn1t}(n 0,1,2,......)
在区间(t0 , t0 T1)内是完备正交函数集.
吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多, 合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不 连续点。当项数N很大时,峰起值趋于 一个常数,约为总跳变值的9%,并从不 连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰 减下去。无论N多大，这个超量不变。
但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所 以波峰下面积也趋近于零，因而在能量的意 义下部分和的波形收敛于原波形。