2-6无穷小的比较 无穷小的阶

0 0
型
lim
x0
x2 sin x2
1 x

lim sin
x0
1 x
不存在,
不可比.
极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的 “快慢”程度不同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0
(1)如果lim

0,
则称 是比 高阶的无穷小．
记作 o( )
(2)如果 lim ,则称是比 低阶的无穷小；

(特3)殊如地果,l如im 果 limC 记作 ~ ;



0 , 则称 与是同阶的无穷小； 1,则称 与 是等价的无穷小；
(4)如果lim
k

C

0, k

0
, 则称

是
的 k 阶的
无穷小；
例如，因为 lim x2 0，
x0 3x
即
x2 o(3x), ( x 0).
x0
x
4、 lim x0
1 x sin x x2 arctan
x
1

______;
5
lim 2n sin
n
x 2n

_____;
1
6、lim(1 ax)n 1=_________.
x0
x
7、当x 0时， a x3 a(a 0)
对于 x 是_______阶无穷小 .
x ~ e x 1, (1 x)a 1 ~ ax, (a 0)
a x 1 ~ x lna
上述等价无穷小中的 x 可以是函数形式,
但在所考虑的极限过程中, 此函数的极限 应为零.
例2
求
sin2 2 x
lim
.
x0 1 cos x
解 当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x2,
x0
(2
x)3
0.
1
解
原式
sin x ( 1)
lim x0
cos x (2 x )3

lim
x0
sin x (1 cos x (2x)3 cos x
)
x 1 x2
lim x0
2 (2 x )3
1. 16
例 6 计算
lim
x0
ln(sin2 x e x ) ln( x2 e2x )
x f ( x) x
不存在且不为无穷大
故当 x 函数 f ( x)和g( x)不能
比较.
练习题
一、填空题：
1、lim tan 3x ________; x0 sin 2 x
2、
arcsin xm
lim
x0
(sin x)n

_______;
3、 lim ln(1 2x) ________;
k ___
解 lim ( x) lim 1 x arcsin x cos x
x0 ( x) x0 kx2 ( 1 x arcsin x cos x )

1 2k
lim
x0
(1

cos x2
x

arcsin x
x)

1 (1 1) 2k 2
1
k 3 4
例8
8、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，
则
m _______,n _______ .
二、求下列极限
tan x tan a
(1) lim
xa
xa
(2)
tan x sin x
lim
x0
sin3 x
(3)
e e lim

(4) lim sinx sin x
2
x x
(0 型) 0
解
原式

lim
x0
ln(sin2 x ln( x2 e2
ex) x)
ln e x ln e2x

lim
x0
ln(ex sin2 ln( x2e2 x
x 1) 1)
因为 x 0 时, ln(1 x) ~ x ,所以
ln(1 ex sin2 x) ~ ex sin2 x, ln(1 e2x x2 ) ~ e2x x2

lim


证
lim

lim( )

lim lim lim

lim
几个常见的等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x ; 1 cos x ~ 1 x2 ; 2
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x)
1
lim
x0
2
x sin x2
x

1 2
例4
求
lim
x0
(
x
1)sin ex 1
x
.
解 当x 0时, sin x ~ x, ex 1 ~ x.
原式 lim ( x 1)x x0 x
lim( x 1) 1. x0
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积, 则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作
(040210) 计算极限
lim
x0
1 x3
[(2

cos 3
x)x

1]
解 由 ln(1 t) 与 t 等价(t 0) 得: x 0
(2

cos 3
x)x
1

x ln
e
2cos 3
x

1
~
x ln
2

cos 3
x

~ x cos x 1 3
cos x 1
x0
__________________
解 lim(cos x) lim e 1 ln( 1 x2 )
ln cos x ln( 1 x2 )
x0
x0
lncos x lim x0 ln(1 x2 )

lim
x0
ln(1

cos x2
x

1)
lim cos x 1 1

cos(a 2

b)
,
x

1
1

cos(a 2

b) ,
x

1
四、1、 cos(a bx), x 1 ；
2、a 2k ( k 0, 1, ) ,b 0.
证明
lim
x0
因为
tan x sin x3
x

lim
x0
sin
x
(
1
cos x3
x

1)
lim
x0
sin
x (1 cos x3 cos x
x)
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)

lim
x0
1 cos
x

lim
x0
sin x
x

1 lim
于是
lim
x0
ln(sin2 x e x ) ln( x2 e2x )
2
x x

lim
x0
e x sin2 x 2e 2 x
x
1
例7 (0702) 当 x 0 时, (x) kx2 与 ( x) 1 x arcsin x cos x 是等价无穷小, 则
x0
x
三、 证明：若 , 是无穷小，则
~ 0( ).
x2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f (x) 的表达式 .
2、确定 a,b 的值,使得
lim f ( x) f (1)， lim f ( x) f (1) .
原式 lim x0
3 x2
1 6
三、小结
1、无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速 度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行 比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.
练习 (030104)
1
lim(cos x)ln(1x2 )
等价无穷小代换, 而不会改变原式的极限．
注意：不能滥用等价无穷小代换.
切记:只可对函数的乘积因子作无穷小等价代 换,对于代数和中各无穷小不能分别代换.
例5
求
lim
x0
tan x sin sin3 2 x
x
.
错解 当x 0时, tan x ~ x,sin x ~ x.
原式
x x

lim
第六节 无穷小的比较 无穷小的阶
一、无穷小的比较 二、 等价无穷小 三、 小结
一、无穷小的比较
例如,当 x 0 时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
观察下列极限
x2
lim
x0
3x

0,
x
x 2比3 x要快得多;
lim sin x 1, sin x与x大致相同;
x0 x
lim(
x0
2
sin



x cos


x

2 sin


x cos


) x
2
2
2
2
而
lim
x0
2
sin


ex 1
x cos


x
lim x x0 ( )x
2
2
lim
x0
2
sin

1 ex
x cos

x
lim x x0 ( ) x

2
2
所以
lim ex ex
x0 sinx sin x






1
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能．例如，当x 时
f ( x) 1 , g( x) sin x 都是无穷小量
x
x
但
lim g( x) lim sin x
x1
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
,m n
4、 ；
5、x ； 6、a ； n
7、3；
8、1 , 2. 2
二、1、1 ； 2、e ； 2
3、 ； 4、sec2 a .
sin
2

x
x
,
x
1
1
原式
Leabharlann Baidu
lim
x0
(2 1
x)2 x2
8.
2
2
例3 求极限
lim
x0
1 x sin x 1 ex2 1
sin 2x ~ 2x.
解 因为 x 0有 1 x sin x 1 ~ 1 x sin x, e x2 1 ~ x2
所以
2
1
lim
x0
1 x sin x ex2 1
所以当 x 0 时，x2是比 3x 高阶的无穷小．
因为 lim sin x 1，即sin x ~ x, ( x 0).
x0 x
所以当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．
而
x2
lim
x0
(3
x
)2

1， 9
所以当x 0时， x2是 3x 二阶无穷小．
例1 证明： 当 x 0 时，tan x sin x 为 x 的三 阶无穷小．
x0
cos x2
x
1, 2
所以 tan x sin x 为 x 的三阶无穷
二、等价无穷小代换
定理(等价无穷小代换定理)
(1)( x)、 ( x)、( x)、 ( x)是同一极限过程的 无穷小；
(2) ~ , ~
(3)
lim


存在．
则 lim
x0
x2
2

1
lim(cos x)ln(1x2 )

e . 1 2
x0
练习 求 lim ex ex ,( ,且不同时为零) x0 sinx sin x
解
原式

lim
x0
2
sin
ex 1

x
1 cos
ex


x
2
2
ex 1
1 ex