经济数学基础讲义导数与微分

第2章 导数与微分

2.1 极限概念

研究函数是利用极限的方法来进行; 极限是一个变量在变化

过程中的变化趋势.

例1 圆的周长的求法.早在公元263年, 古代数学家刘徽用圆内接正四边形、 正五边形、 正八边形、 正十六边形……等的边长近似圆的周长, 显然随着边数的增加, 正多边形的边长将无限趋近圆的周长.

例2 讨论当+∞→x 时, x 1的变化趋势.

例3 讨论一个定长的棒, 每天截去一半, 随着天数的增加, 棒长的变化趋势。

”一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”——庄子•天下

定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域( 点0x 能够除外) 内有定义,

如果当x 无限趋于0x ( 但0x x ≠) 时, )(x f 无限趋近于某个常数A , 则称x 趋于0x 时, )(x f 以A 为极限, 记为

A x f x x =→)(lim 0 或A x f →)( )(0x x →

若自变量x 趋于0x 时, 函数)(x f 没有一个固定的变化趋势, 则

称函数)(x f 在0x 处没有极限.

在理解极限定义时要注意两个细节:

1.0x x →时, ( 0x x ≠)

2.⎩

⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x ( 包括这两种情况)

例1 讨论2x y =时, 22lim x x →=?

解: 求极限时, 能够利用极限的概念和直观的了解, 我们能够借助几何图形来求函数的极限.由几何图形能够看出, 当2→x 时,

42→=x y , 即22

lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限1

1lim 21--→x x x 解: 此函数在1=x 处没有定义, 能够借助图形求极限.由

图形得到21

1lim 21=--→x x x 2.1.3 左极限和右极限 考虑函数x y =, 依照极限的定义, 不能考虑0→x 的极限.

因为x y =在0

又如函数⎩⎨⎧>≤=0

10)(x x x x f , 如果讨论0→x 是的极限, 则函数分别在0x 时不是同一个表示式, 必须分别考虑.由此引出左右极限的概念.

定义2.4 设函数f x ()在点x 0的邻域( x 0点能够除外) 内有定义, 如果当x x <0且x 无限于x 0( 即x 从x 0的左侧趋于x 0, 记为x x →-0) 时, 函数f x ()无限地趋近于常数L, 则称当x 趋于x 0时, f x ()以L 为左极限, 记作 = L;

如果当x x >0且x 无限趋于x 0( 即x 从x 0的右侧趋于x 0, 记为x x →+0) 时, 函数f x ()无限地趋近于常数R, 则称当x 趋于x 0时, f x ()以R 为右极限, 记作= R .

极限存在的充分必要条件:

极限)(lim 0

x f x x →存在的充分必要条件是: 函数f x ()在0x 处的左, 右极限都存在且相等.即

例3 ⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解: 注意到此函数当x =0的两侧表示式是不同, 在0点处分别求左、 右极限.

11lim )(lim 00==++→→x x x f , 0lim )(lim 0

0==--→→x x f x x 可见左右极限都存在但不相等; 由几何图形易见,由极限的定义知, 函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数, 因此此函数在0点处极限不存在.

2.1.4 无穷小量

0)(lim 0=→x f x x 称当0x x →时, )(x f 为无穷小量, 简称无穷小.

补充内容:

无穷小量是一个特殊的变量, 它与有极限变量的关系是:

变量y 以为A 极限的充分必要条件是: y 能够表示成A 与一个无穷小量的和, 即

)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y

无穷小量的有以下性质:

性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量;

性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量;

性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量: 在某个变化过程中, 绝对值无限增大且能够大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.

例如 因为+∞=+∞→x x 2lim , 因此, 当+∞→x 时, x 2是无穷大量.无

穷小量与无穷大量有如下”倒数关系”:

定理: 当0x x →( 或∞→x ) 时, 若)(x f 是无穷小( 而0)(≠x f ) , 则)(1x f 是无穷大; 反之, 若)(x f 是无穷大, 则是无穷小. 例4 2x y =, 当0→x 时, ?2→x

解: 由图形可知, 当0→x 时, 02→x , 当0→x 时, 2x 是无穷小量.

2.2 极限的运算

2.2.1 极限的四则运算法则

在某个变化过程中, 变量v u ,分别以B A ,为极限, 则

B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(, B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim(

例1 求22lim x x →

解: 422)lim )(lim ()(lim lim 2

2222=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求1

1lim 21--→x x x

解: 21

)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x 例3 求x

x x x +-∞→2231lim 解: 31)13()11(lim 31lim 22222=+-

=+-∞→∞→x x x x x x x x x 例4 求x x x 11lim 0

-+→ 解: )11()11)(11(lim 11lim 00

++++-+=-+→→x x x x x x x x )11(lim 0++=→x x x x 2

1111

lim 0=++=→x x 2.2.2 两个重要极限 1.1sin lim 0=→x

x x 几何说明: 如图, 设x 为单位圆的圆心角, 则x 对应的小三角形的面积为2sin x , x 对应的扇形的面积为2

x , x 对应的大三角形的面积为2

tan x 当0→x 时, 它们的面积都是趋于0的 , 即之比的极限是趋于1的.

例1 x

x x 3sin lim

0→ 解: x x x 3sin lim 0→=333sin 3lim 0=→x x x 333sin lim 0=→x x x 2.e )11(lim =+∞→x x x e )1(lim 10

=+→x x x 例2 求极限x x x

)311(lim +∞→ 解: 31313313e ])311(lim [)311(lim )311(lim =+=+=+∞→⋅∞→∞→x x x x x x x x x