0计算方法及MATLAB实现简明讲义课件PPS6-1古典迭代法

第6章

解线性方程组的迭代法

6.1 迭代法的基本概念

6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法6.3 超松弛迭代法

6.4 迭代法收敛性

设有线性方程组

,

b Ax =其中， 为非奇异矩阵. n n ij a A ⨯∈=R )( 将 分裂为 A A M N =-（1） 其中， 为可选择的非奇异矩阵，且使 容易求解， M d M x =一般选择为 的某种近似，称 为分裂矩阵.

A M 6.1 迭代法基本概念

(参阅教材300页)

A D L U =--实用的分解：对角-三角分解

于是，求解 转化为求解

， b Ax =b N x M x +=.

11求解b M N x M x b Ax --+=⇔=即求解 从而可构造一阶定常迭代法 ⎩⎨⎧=+=+ ,2,1,0,()()1()0(初始向量)k f Bx x x k k ，（3）

其中 N M B 1-=.

1b M f -=)(1A M M -=-,1A M I --=称 为迭代法的迭代矩阵.

A M I

B 1--=也就是求解线性方程组

,f Bx x +=（2）

选取 阵，就得到解 的各种迭代法.

M b Ax =A M N

=-

(分离主对角线元素!)

(分离下三角元素!) (分离上三角元素!)

(负下三角元素!)

L

U

D (主对角线元素!)

L U

6.2雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法

(移项!)

L

D

U

L U

(同乘以D 的逆矩阵!) (除以对角元系数!)

(分量横向迭代!) (右边第k项左边第k+1项!)

D L

(同乘以D-L 的逆矩阵!)

(移项!)

(右边第k项左边第k+1项!)

(移项相除!)

(既要横推又要纵推!)

(保留主对角元在左边!)

()

1

D

L U -+1

D b

-1410

=(右边k 左边k +1)

(Jacobi迭代仅为横向迭代!)

(变形与Jacobi迭代一样!)

都用分量的新信息!)

(上面刚算好，

下面就用上!)

()

11

1410

x =(Gauss-Seidel 迭代每次都用分量的新信息!)

3950

(上面刚算好， 00

SOR 松弛迭代

()

1

D L ω--(Successive-Over Relaxation )

(迭代每次都用分量的新信息!)

(加权平均!)

(同乘以D-w L 的逆矩阵!)

(参阅教材309页!)

(再除以主对角元!)

(左边全移项到右边!)

()

b Ax -1D -x +

(SOR 迭代每次都用分量的新信息!)

()

b Ax -1D -x +ω

()

2

3

4

k

x

-+

24

4

(Symmetric Successive-Over Relaxation)