浅析Stirling公式的若干应用

渐 表 式即 （ １ （ ）—ｏ 进 达 ，厂 ＋） 一 ÷ ， ｏ由 ，
此得 以下定理 。 定理 １对任 意 ＞０存在 （ ∈（ ，） ： ） ０ １ 使得
ｒ ＋ ＝ （１ （ １ ÷ ） ｅ
：
（ １ ）
证： 因为 Ｊ（ １ ＋Ｉ ＝ Ｊ（ ， 以公式 （ ） ） １ ） 所 Ｉ 等价 于 Ｊ（ １ ）
它是关于圆周率 的无 穷乘 积 的公 式 ， 公式 中只有 阶乘 运算 ， 形式十分简单 ， 它是有理数过渡到无 理数 的一个 非常重要 但 的桥梁 。而对于 Ｗａ ｉ公 式 的证 明 ， ｌｓ ｌ 一般 情 况下 ， 都用 积 分 证 明方法 ］证 明过程 比较复 杂 ， ， 本文 利用 Ｓ ｆｎ 公 式证 明 ｔ ｉｇ ｉ ｌ
引理 ２ 对任意 ＞ ， ： ０满足不 等式
ｏ（ 丢－ ＋ ） ＜ （ 一 ） ＜ ＋ ）１ 一 击÷ ｇ÷
引理 ３对 任意的 自 ： 然数 ｎ有 ，
＝
Ｗａｌ公式 ， ｌ ｌ ｓ 使其证 明过程 简单 明了。 Ｗａｉ 式的证明 ： ｌｓ ｌ公
（ ÷・ ＋ ｎ ＋ ）ｎ ） ＋ ｇ （
２ １ 年 ７月 ０１
黑龙江生态工程职业学 院学报
Ｊｕ ａ ｏ ｅ ｏｇ ａｇＶ ｃｔｎｌ ｎｔｕｅｏ ｃｌｇ ａ Ｅ ｇｎｅｉｇ ｏｒｌ ｆ ｉ ｎｊ ｎ ｏａｏ ａ Ｉｓ ｔ Ｅ ｏ ｉｌ ｎ ｅｒ ｎ Ｈ ｌ ｉ ｉ ｉ ｔｆ ｏｃ ｉ ｎ
Ｊ １２ １ ｕ． ０ １
４任… 剐＜ ：意 对 了
现在来证 明（ ） ２ 式。
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（ ， Ｈ１ ｇ 、 ， ＝ ｎ ｌ 『 ＝ 引 ５＊ｎ＋一 ＋））ｇ 理：、！ｎ（ ÷ ，
由 式ｇ 等ｌ
ｇ 而
公式得证 。
错 …ｓ 蝻专 出
＝ｎ 以 一 ＋ ｌ ＋ 磊ｇ ｇ ！ （
关于阶乘估计 的 Ｓｒｎ 公 式 ： ！ ＝ ｎ ｉ ｔ ｇ Ｕ ｎ ｎｅ ｎｅ （ 丌 翥 其 中 ０＜ ０＜１ ， ） 是数 学分 析 中 的一 个基 本 公式 ， 于它是 ｎ 由 ！ 的近似计算公式 ， 因此它在极 限理 论与数值计 算” 上都有着 非常重要的作用。Ｓ ｒｎ 公式 的意义在 于 ： ｎ足够大之后 ｔｌ ｇ ｉｉ 当 ｎ 计算起来 十分 困难 ， 然有 很多关 于 ｎ ！ 虽 ！的不等式 ， 但并 不能很好地对阶乘结 果进 行估 计 ， 尤其 是 ｎ很大 之后 ， 误差 将会非常 大。但 利用 ｓｒｎ 公 式 可 以将 阶乘 转 化 成 幂 函 ｔｌｇ ｉｉ 数 ， 阶乘 的结果得 以更好的估计 ， 随着 ｎ 的增大 ， 使得 而且 值 误差就越小 。现 阶段 ， Ｓ ｒ ｇ 对 ｔ ｎ 公式 的研究 ， 集 中在 它 ｉ ￣ 主要 的证 明与其在数列极 限 的应用 上 。本 文利 用渐进 分析 的 ｊ 思想 方法 给 出了 Ｓｆｎ 公 式的 一个 较为新 颖独 特 的证 明 ， ｔｉ ｉ ｇ ｌ 并探讨 了 Ｓｆｎ 公 式在 微积 分 、 拉积 分 、 ｔｉ ｉ ｇ ｌ 欧 概率 分 析 、 数列 极 限等 中的应用 。
一
证： ｔｉ 公 ！＝ 由Ｓ ｎ 式ｎ 侗 ｉｇ ｌ ｆ
（） ＝ ２ ！ ｎ
＿ ｌ ＜ ＜） 知 ｎ ． ０ １， ｅ（ ４０ 可
ｌ磊０ ０＜） － ＜ｌ １ ｅ（ １
（＋・ 毫（ 一 ÷ 一 ｌ ｎ ） ｇ
故 ｒ 时 ｎ一＿（ ） ！ 侧 詈 当 有！ ÷ ，）～ （ ）
）和引理 ３可得
收稿 日期 ：０ １ ｏ ２ ２ １ 一 ４— ３ 作者简 介： 韩诚 （ ９ ４一） 男， 苏盐城 人 ， １７ ， 江 副教授 。研 究方向： 糊逻辑与智能推理 。 模
－ 菩ｄ ７
一
＝ ｇ ｌ一 ＋＋ ）ｎ ）（ ｌ ｎ 嗽 （ ÷ｌ ＋ ＋ ） — ｎ ｇ ÷＋ｌ （
１ 利用 Ｓｉｌ ｇ公式证 明 Ｗａｌ 公式 ｔｉ ｆｎ ｌｓ ｉ
２ Ｓｉ ｉｇ ｔｌ 公式在 欧拉 积分 中的应用 ｒｎ 由于 Ｆ（ ｎ＋１ ）＝ｎ ， ！因此 由 Ｓ ｆｎ 公 式可 以自然想到 ， ｔｌ ｇ ｉｉ
当 ｎ 。 时 ， ＋１ 有 类 似 于 Ｓｆｎ 式 ｎ 一ｎｅ 一 ｏ ，（ ） ｉ ｇ公 ｔｉ ｌ ！ ｎ
的思想给 出了 Ｓｉｉｇ公 式一 个较 为新颖的证 明， ｔ ｎ ｌ ｆ 并探讨 了Ｓｉｉｇ 式在微 积 分、 率分析 、 ｔ ｎ公 ｌ ｆ 概 欧拉 积分等 中的应 用， 还研 究了 Ｓｉｉｇ公式在 ５ ￣ Ｆ 计算 中的作 用。试 图为欧拉积分的研究提供新的 思路乖 方法。 ｔ ｎ ｌ ｆ ＇ ｔ １ Ｌ 关键词 ：ｔ ｉ Ｓｉ ｎ 式； ｌ ｆ ｇ公 证明 ； 用 应 中图分类号 ： ３ ０１ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：６４— ３ １ ２ １ ）４－ １３一 ２ １７ ６ ４ （０ １０ ０ １ ｏ
１３一 ｌ
得
＝ｎ ＋ ｌ （＋＋ ）ｎｌ１音） ＝ ＋ ）＋ ）＋ ） ＋１） ｌ ＋ｇ ｎｇ ÷（ ＋（ ） ｇ ｌ ｘ ！ｎ 一 １ ｇ＋ ＋ ｇ １ （ ÷（ ÷…１ ｝ （ ÷ ） ＋ １・ ・ … ・・ｆ ｎ一１ ３ ５ ２ （ ・ ２・ ２ １・ ３… ・・／ ７ ， ） ＝ ｎ （ ÷－一ｎ ＋ ）¨ｘ＋ 一 一ｎ ） （ ÷ｌ ＋ ＋ ｇ ＋ ｇ ） ｎ （ ： ！： ： 墨 （ ÷ｌ ） 一 （ ３ ） （ ：：
Ｖ０ ． ４ Ｎｏ ４ １２ ．
第２ ４卷第 ４期
浅 析 ｔ ｉｇ 式 的 干 应 用 Ｓｉ ｎ 公 ｌ ｒ 若
韩 诚 刘丹丹
（ 盐城 师范学院 数 学科 学学院 ， 江苏 盐城 ２４０ ） ２０２
摘 要 ：ｔ ｉ Ｓｉ ｎ 式作 为阶乘运算的一类推广公式 ， ｌ ｆ ｇ公 在极 限理论 与数值 计算上有 着广泛 的应 用。利 用渐进分析
ｆ ， 羔１铋 、 ｅ
两边 取对 数得
Ｗａ ｉ公式 ｌｓ ｌ
．．
ｌ 加ｌ ＋ 一）一 警 ｇ ｇ （÷ Ｆ ＋ （
因此 只要 证明公式 （ ） ２ 就可 以了。 下面通Leabharlann Baidu 四个引理来证 明公式 （ ） ２。
（ ２ ）
１ Ｉ ２）！、 仃 ， ｎ！ （ 可Ｊ