第16讲 基点法、速度投影法、瞬心法求速度的原理及应用

§8.3
确 定 速 度 瞬 心 位 置 方 法 小 结
求平面图形内各点速度的瞬心法
Theoretical Mechanics
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
例2、 车以速度v沿直线道路行驶，已知车轮的半径为r， 车轮在路面上滚动而不滑动，如图。试求轮缘上M1、M2、 M3、M4、M5各点的速度。
图形上各点的速度相等， 这种情况称为瞬时平移。平 面图形为瞬时平移时，此瞬 时平面图形的角速度等于零， 但加速度不等于零。
播放瞬 心4
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
确定速度瞬心位置的方法5
如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑
动，则图形与固定面的接触点就是瞬心I。
vM
vO
vM vO vMO
平面图形内任一点的速度 等于随基点的速度与绕基 点转动的速度的矢量和
通常把平面图形中速度为已知的点选为基点
§8.2
求平面图形内各点速度的基点法
v MO
二、速度投影定理
vM
vO
vM vO vMO
上式向O点和M点的连线上投影
Theoretical Mechanics
在平面图形运动的某瞬时，以速度瞬 心I为基点，图形上各点的速度等于相对 瞬心转动的速度。在此瞬时，平面图形 的运动就简化成为绕瞬心的转动 。
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
几点讨论
每瞬时平面图形上都存在唯一的速度瞬心。它可 位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。
2
vA r tan 2 63.4 vCA l r 2 l
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
问题的提出
由基点法知：平面图形上任一点的速度等于随基 点的速度与绕基点转动速度的矢量和。 基点是任意选择的，那么在每一瞬时，能不能在 平面图形上找到一个速度等于零的点？
B 两点的速度vA、vB的方向，
且 vA不平行于 vB 。此时，过
A、B两点分别作 vA与vB 的垂 线，这两条垂直线的交点即为
瞬心 I。
播放
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
3、确定速度瞬心位置的方法3
如果vA∥vB，且 AB ⊥ vA，则按比例在图中标 示 vA、 vB 的大小，用直 线连接vA、vB矢量的末 端，此直线与AB线的交 点即为瞬心I。
cos
例1
§8.2
求平面图形内各点速度的基点法
AB
vC vA

②求连杆AB中点C的速度vC 仍选A为基点
r l
Theoretical Mechanics
vC vA vCA
2 vC v2 v A CA
vCA

r
2
l r 5 r 2 l 2
瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不
同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度 并不等于零。 平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是 绕一系列的速度瞬心的转动。
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
三、瞬心位置确定：
1、确定速度瞬心位置的方法1
vMO O ' M
(vMO )O ' M 0
速度投影定理：平面图形 内任意两点的速度在此两 点连线上的投影相等
相对速度在O’M连线上的投影为0
(vM )OM (vO )OM
M点的速度 在MO’连线 上的投影 O ’点的速度 在MO’连线 上的投影
当已知平面图形内某点的速度大 小方向和另一点的速度方向，应
Theoretical Mechanics
教学要求：
1、了解牵连速度即为基点的速度。 2、理解刚体平面运动求解三种方法的原理，瞬心位置的确定 3、掌握应用基点法、速度投影法求平面图形上各点的速度
重点：平面图形上各点的速度、瞬心位置的确定 难点：求平面图形上各点的速度的原理 学时安排：2
§8.2
一、基点法
AM vA
找速度等于零的点
vI v A vIA 0
I
M
vIA v A
AI
vA

vA

A
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
7.3.2 速度瞬心法
二、瞬心法原理： 速度瞬心法 ：以速度瞬心为基 点，求平面图形上各点速度的方法.
v M ( IM ) 方向如图示
解：（1）运动分析： 车轮作平面运动。 （2）速度分析：轮心O的速度 等于汽车行驶速度,轮心始终以速 度v直线运动。
（3）找速度瞬心：车轮滚动而不滑动，与地面接触的点为瞬 心，轮绕该点瞬时转动
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
(4)由瞬心法求轮的角速度和 五个点的速度：
Theoretical Mechanics
vA OA,vA r
点B的速度铅垂向上，大小未知。
（3）用基点法：A点的速度已知，选其 为基点，作速度平行四边形，求AB角速 度、C点速度、B的速度。
例1
§8.2
求平面图形内各点速度的基点法
（选速度已知的点A为基点 ） vB vA
①求AB角速度、滑块B的速度 vA=r
ve (vO’)

o′
ve vo
vo′
x′
M点对于O点的相对速度
x
vr vMO OM
方向与半径OM垂直，指向与角速度的转向一致
§8.2 Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的基点法
v MO
根据点的速度合成定理，M点 的绝对速度的矢量表达式为
第十六讲目录
Theoretical Mechanics
第8章 刚体的平面运动
第九章 刚体的平面运动
§8.3
§8.2
求平面图形内各点速度的基点法
求平面图形内各点速度的瞬心法 （瞬心法原理、瞬心位置的确定）
第十六讲的内容、要求、重难点
教学内容：
基点法、速度投影法求平面运动刚体的点的速度和角速度， 瞬心位置的确定
Theoretical Mechanics
vBA v Acot
y
vBA
vBA v A r
AB
vA vB 2v A 2r sin
x
vBA r AB l
B点的速度方向已知，求B点的速度大小 vA 还可用速度投影定理： v v cos vB 2r A B
v1 v5 v v2 v4 3v v3 2 v
P. 225 8-4（基点）、5（速度投影）
如果能找到这样的点，并以此点为基点，求平面
图形上各点的速度就更简便了
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
7.3.1 瞬时速度中心
一、瞬心的定义： 在平面图形上，瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心，简 称瞬心，一般用I表示 A点为基点，速度vA 。 平面图形的角速度为 在平面图形上寻找相对速度与牵连速度共线、反向的点
求平面图形内各点速度的基点法
Theoretical Mechanics
平面图形上任意一点的速度等于基点的速度 与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。
取点O 为基点，该点的速度为 vO 、图形的角速度为 。
vr y
(vMO’)
va（ v ） M
y′
M
建立平动坐标系，则 牵连运动是 平移,相对运动是转动。 点M的牵连速度
vO r v ຫໍສະໝຸດ v / rv1 M 1 I v3 M 3 I v5 M 5 I
M 1 I M 5 I 2r cos 60 r , M 2 I M 4 I 2r cos 30 3r , M 3 I 2r
v2 M 2 I v4 M 4 I
播放瞬心 31
播放瞬心 32
即vA、vB同向时，I外分AB线段；vA、vB反 向时，I则内分AB线段。
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
4、确定速度瞬心位置的方法4
某瞬时，如果 vA = vB ，如图(e)；或 vA ∥ vB ，但AB不垂直 于vA、vB，如图(f)。在这两种情况下，瞬心在无穷远处。表 明平面图形在此瞬时的角速度等于零。
已知某瞬时平面图形的角
速度 和某点A的速度vA ， 如果过A点沿着vA方向作半直
线A，将此半直线顺图形角
速度的转向转过直角，然 后在半直线上取线段AI：
AI
vA

则I点就是瞬心
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
2、确定速度瞬心位置的方法2
已知某瞬时平面图形上A、
例1、 在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l， 曲柄以匀角速度转动，当OA与水平线的夹角 = 45时，OA 正好与AB垂直，试求此瞬时AB杆的角速度、AB杆中点C的速 度及滑块B的速度。 解：（1）运动分析： vB OA作定轴转动，AB杆作平面运动， vBA 滑块B作铅垂直线平动。 vA （2）速度分析：
用速度投影定理可求其大小。
《教材》P.154
§8.2
求平面图形内各点速度的基点法
解题步骤：
Theoretical Mechanics
运动分析：
分析各杆作什么运动。平动？定轴转动？平面运动
速度分析
哪些点的速度大小或方向是已知的
求解
由题意选择方法、基点（基点法）、投影轴等
§8.2
求平面图形内各点速度的基点法