应变梯度理论的新进展_一_偶应力理论和SG理论

第21卷第2期机 械 强 度V o l.21N o.2 1999年6月JOU RNAL　O F　M ECHAN I CAL　STR EN GTH June1999

应变梯度理论的新进展(一)Ξ

——偶应力理论和SG理论

RECENT AD VANCES IN STRA IN GRAD IENT PLAST I C IT Y-

——Couple stress theory and SG theory

黄克智ΞΞ　邱信明　姜汉卿

(清华大学工程力学系,北京100084)

Hw a ng Ke hchih　Q iu X inm ing　J ia ng Ha nq ing

(D ep a rt m en t of E ng ineering M echan ics,T sing hua U n iversity,B eij ing100084,Ch ina)

摘要　介绍两种应变梯度塑性本构模型:CS应变梯度塑性理论——偶应力理论、SG应变梯度塑性理论。并对它们在断裂力学中的应用进行了评述。给出一种考虑可压缩性的方法,并根据这种模型用薄梁弯曲的例子给出了可压缩性的影响。本文的讨论虽限制在形变理论范围内,但按照相应的方法也可以得到流动理论的形式。

关键词　应变梯度　塑性　偶应力　高阶应力　断裂

中图分类号　O344

Abstract　In the paper tw o k inds of fram ew o rk of strain gradien t p lasticity recen tly developed and their app licati on s are review ed:strain gradien t p lasticity fo r CS so lid——the coup le stress2theo ry,strain gradien t p lasticity fo r SG so lid.

T he app licati on s are m ain ly focu ssed on the fractu re p rob lem s.O ne w ay of accoun ting fo r m aterial comp ressib ility is suggested.T he review is confined to the defo rm ati on theo ry versi on,though the flow theo ry versi on can be parallelly con structed.

Key words　stra i n grad ien t,pla stic ity,couple stress,h igher-order stress,fracture

1　引言

新近的试验表明,当非均匀塑性变形特征长度在微米量级时,材料具有很强的尺度效应。例如F leck 等[1]在细铜丝的扭转试验中观察到,当铜丝的直径为12Λm时,无量纲的扭转硬化增加至170Λm直径时的3倍;Sto lken和Evan s[2]在薄梁弯曲试验中也观察到当梁的厚度从100Λm减至1215Λm时,无量纲的弯曲硬化也显著增加;而在单轴拉伸情况这种尺度效应并不存在。在微米量级的尺度下微观硬度试验与颗粒增强金属基复合材料中也观察到尺度效应,当压痕深度从10Λm减至1Λm时,金属的硬度增加一倍[3～7];对于以碳化硅颗粒加强的铝-硅基复合材料,L loyd[8]观察到当保持颗粒体积比为15%的条件下,将颗粒直径从16Λm减为7.5Λm后复合材料的强度显著增加。

由于在传统的塑性理论中本构模型不包含任何尺度,所以它不能预测尺度效应。然而,在工程实践中迫切需要处理微米量级的设计和制造问题,例如,厚度在1Λm或者更小尺寸下的薄膜;整个系统尺寸不超过10Λm的传感器、执行器和微电力系统(M E M S);零部件尺寸小于10Λm的微电子封装;颗粒或者纤维的尺寸在微米量级的先进复合材料及微加工。现在的设计方法,如有限元方法(FE M)和计算机辅助设计(CAD),都是基于经典的塑性理论,而它们在这一微小尺度不再适用。另一方面,现在按照量子力学和原子

Ξ

ΞΞ黄克智,男,生于1927年7月,江西南昌人,汉族。中国科学院院士,工作于清华大学工程力学系(100084),破坏理论与塑性本构研究室教授、博士生导师。1947年毕业于江西中正大学,1952年清华研究生毕业,我国固体力学专家。清华大学工程力学研究所所长,国务院学位委员会力学评议组召集人,远东与大洋洲断裂学会执委,国际理论与应用力学联合会理事,国际材料力学行为学会常委。长期从事断裂力学理论及应用,包括材料强韧化理论,宏细观断裂力学,应变梯度与尺寸效应,断裂力学在核容器与管道工程中的应用;材料本构理论,包括材料大变形本构理论,具有相变情况的本构理论,形状记忆合金、铁电材料等本构关系等科学研究。曾主持了7项国家重大科研项目。作为第一获奖者曾获国家自然科学三等奖、国家教委科技进步一等奖等11项国际、国家与部委级奖励。此外参加获得国家自然科学三等奖、国家教委科技进步一等奖等4项奖励。已出版5部专著,在国内外学术刊物与会议上发表论文190余篇。

19990127收到初稿,19990423收到修改稿。国家自然科学基金重大项目(19891180)

资助

模拟的方法在现实的时间和长度的尺度下处理微米尺度的结构依然很困难。所以,建立连续介质框架下、考虑尺寸效应的本构模型就成为联系经典塑性力学和原子模拟之间必要的桥梁。

促使建立细观尺寸下连续介质理论的另一个目的是在韧性材料的宏观断裂行为和原子断裂过程之间建立联系。在一系列值得注意的试验中,E lssner 等[9]测量了单晶铌 蓝宝石界面的宏观断裂韧度和原子分离功。使用专门设计的四点弯曲试件测量宏观断裂功,以测出界面韧性。原子分离功通过界面上的微观孔隙平衡形状来确定。尽管铌是韧性材料,具有很多位错,但这两种材料的界面裂纹仍保持为原子尺度的尖裂纹,即裂尖没有钝化。原子点阵或强界面分离所需要的力约为0103E 或者10ΡY (E 为弹性模量,ΡY 为拉伸屈服应力)。而按照经典的塑性理论,H u tch in son [10]指出裂纹前方最大应力水平只能达到4至5倍ΡY 。很明显这远远小于E lssner 等[9]在试验中观察到的结果,不足以达到使原子分离。考虑应变梯度的影响有望解释这一现象。

在下面两节中主要介绍最近发展起来的两种应变梯度塑性理论及其应用。这两种理论分别为:CS 应变梯度塑性理论(CS 是“coup le stress ”的简写),SG 应变梯度塑性理论(SG 是“stretch and ro tati on gradien ts ”的简写)。

顺便指出,现在已有各种各样的应变梯度理论。例如A ifan tis 和他的合作者[13～15]把应变梯度表示为等效应变的一次和二次拉普拉斯算子,然而他们在理论中没有定义应变梯度的功共轭量;A charya 和B as 2san i

[16]

考虑应变梯度塑性可能的构造形式,它应保持经典塑性的基本结构,并且保证满足热力学的限制,他们断言应变梯度理论唯一可能的构造形式为流动理论,而应变梯度作为一个内变量,表示即时切向硬化模量的增加,但因为并没有一个系统的方法构造切向模

量,所以这种方法尚未具体化;D ai 和Park s ①在他们的率相关单晶应变梯度塑性理论中已经采用了这种内变量理论。

2　CS 应变梯度塑性理论——偶应力理论[1,11]

位错理论表明材料的塑性硬化来源于几何必需位

错(geom etrically necessary dislocati on s )和统计储存位错(statistically sto red dislocati on s )[17～19]。据此,F leck 和H u tch in son

[11]及F leck 等[1]

发展了一种应变

梯度塑性理论,它是经典的J 2形变或J 2流动理论的

推广。在理论中为了考虑旋转梯度的影响,引入了偶应力[20～23],并且满足二阶变形梯度本构律的C lau siu s 2

D uhem 热力学限制条件[24～26]

。F leck 和H u tch in son [12]

应用这种理论成功地预测了前面提到的细铜丝扭转[1]、薄梁弯曲[2]和颗粒增强金属基复合材料[8]的尺寸效应。在这个本构关系中为了平衡应变和应变梯度的量纲,引入了材料常数l (长度量纲),它被认为是材料的内禀长度,依赖于材料的微结构[1,11,12]。在文献[1]中对于铜,估计l =4Λm ;而在文献[2]中对于镍,估计l =6Λm 。当非均匀变形场的特征尺寸L 比材料内禀尺寸l 大得多时,应变梯度效应小到可以略去,因为应变梯度项比应变项Ε的贡献小得多,即l d Ε d x ～(l L )Ε

νΕ,故此时该理论退化为经典的J 2塑性理论;但是当变形场特征尺寸L 与材料内禀尺寸l 属于一个数量级时(例如在上面提到的一些试验中),应变梯度效应就很重要。2.1　控制方程

在本节中对F leck 和H u tch in son [11]及F leck 等[1]

的应变梯度塑性理论做一下总结(只考虑平面应变变形(Ε33=0)的情况)。Cauchy 应力为t ΑΒ(Α

,Β=1,2),把它分为对称ΡΑΒ(ΡΑΒ=ΡΒΑ)和反应对称ΣΑΒ(ΣΑΒ=-ΣΒΑ)两部分,偶应力为m Α(Α=1,2)。这里希腊字母表示指标取值范围为(1,2)。平衡方程为

t ΒΑ,Β=ΡΒΑ,Β+ΣΒΑ,Β=0(1)m Β,Β+Σ12-

Σ21=0

(2)

其中“,”表示对坐标的微分 (),Α=5() 5x Α边界上的应力拽力T Α和偶应力拽力q 为

T Α=n Βt ΒΑ q =n Βm Β

(3)

其中　n Β——边界上的单位外法线

通过运动学的分析可以得到应变ΕΑΒ和位移u Α之间及旋转向量Ξ3=Ξ和曲率ς3Α=ςΑ之间的关系

ΕΑΒ=(u Α,Β+u Β,Α)

2 Ξ=(u 2,1-u 1,2) 2 ςΑ=Ξ,Α

(4)

从式(4)中消去位移和旋转向量得到ς-Ε协调条件及ς所要满足的协调方程

ς1=Ε12,1-Ε11,2 ς2=Ε22,1-Ε21,2

(5)ς1,2-ς2,1=0

(6)

形变理论的本构关系可以通过应变能密度W 表示为如下形式

ΡΑΒ=5W 5ΕΒΑ m Α=5W 5ςΑ(7)与经典J 2形变理论类似,假设应变能密度W 是应变

张量第一、第二不变量及曲率张量第二不变量(曲率张量的第一不变量ςkk 是零)的函数,即

28机 械 强 度1999年

①D ai H ,Park s D M .Geom etrically 2necessary dislocati on density in continuum crystal p lasticity theo ry and FE M i m p lem entati on .1997.(unpub 2

lished m anuscri p t ).