抽象函数练习题教师版
抽象函数练习题教师版
1.对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：
,)]1([2)()1(,1,2
f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2
, 令x=y=0,得：f(0)=0,
∴f(1)=
2
1,.2
2001)2001(f ,2
n )n (f ,2
1f(n)-1)f(n =
∴=
=
+故即
2.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1
即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.
3. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12
4，.的值是则
且如果)
2000()2001()
5()6()
3()4()
1()2(,2)1(),()()(f f f f f f f f f y f x f y x f +
++
+
==+ 。2000
2
(1)(2)
(1)
f f f ++
2
2
2
(2)(4)
(3)(6)
(4)(8)
(3)
(5)
(7)
f f f f f f f f f ++++
+
=
.( ()2n f n =,原式=16)
5、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C A.-1 B.1 C. 19 D. 43
6、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）（B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0
7，设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。
由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，
0)2()(2
≥?
?? ?
?
=x f x f ,又因为若
f(x)=0,则
f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 8，设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=??
?
??-+11 ,求f(x)的解析式。
解:(1)
1),x 0(x x 1)x
1x (f )x (f ≠≠+=-+
且 ----
,12)11(
)1(
:x
1-x x
x x
f x
x f x -=
-+-得代换用
（2）
:)1(x
-11 得中的代换再以
x
.12)()x
-11f(
x
x x f --=
+---（3）1)
x 0(x x
2x
21
x x )x (f :2
)2()3()1(22
3
≠≠---=
-+且得由
9，已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).
解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 10，已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2
1()2
3(+
=-
x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，
则当)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ D ）
A ．2-x
B ．4+x
C ．12++x
D ． 13+-x
解：易知T=2，当)1,2(--∈x 时,()3,24∈+x ,∴)(4)4(x f x x f =+=+; 当)0,1(-∈x 时()3,22∈-x ,∴)()(2)2(x f x f x x f =-=-=-.故选D 。 11，.23
2|)x (f :|,x )x
1(
f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥
=-=求证且为实数即是实数函数
设
解:0
2)x (xf 3 x ,x
1)x (f 2)x
1(
f ,x x
12
=++=
-与已知得得代换用
，.23
2|)x (f |,024)x (9f
02
≥
∴≥?-≥?得由
12，已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x. （Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。
22
2
2
2
2
2
2
(),(()-)() ((2)-2
2)(2)2
2
(2)3,(3-2232
2,(1)1 (0),(0
0)0
0,()I x R f f x x x f x x
x
f f f f f f f a f a a f a a
∈+=-++=
-+=+=-+==-+=-+=解：因为对任意有所以又由得）即若则即2
2
0002
2
00000
2
0000002
2
0(II)(())().
() ,() () ()0()0()x R f f x x
x f x x x x f x x x R f x x
x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x
x
∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==-因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有再代，得，故=0或=1 若=0，则，即2
02
2
02
()1,() 1. () 1 ()
x
x x x x f x x
x f x x
x f x x x x R -=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。
综上，所求函数为
13，函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值； （2）对任意的11(0,)2
x ∈，21
(0,)2
x ∈，都有f (x 1)+2 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =，∴(0)2f =-． （2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+， 由（1）知(0)2f =- ，∴2 ()2f x x x +=+．∵1 1 (0,) 2 x ∈，∴2 2 11111 1()2()2 4 f x x x x +=+=+- 在11(0, ) 2 x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4 f x +∈．要使任意11(0, )2 x ∈，21(0, )2 x ∈都有12()2log a f x x +<成立，必有 23lo g 4 a x ≤都成立.当1a >时，21log log 2 a a x <,显然不成立．当01a <<时，213(log )log 24 a a x >≥，解 得 14 a ≤<∴a 的取值范围是,1)4 ． 14，设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R 上为增函数。 证明：设R 上x 1 f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。 取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由 ) (1)(1)()()0(>-= =-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0， 从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性） 15，已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有 12 12()()()f x x f x f x ?=+ ，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）f (x )在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2 (21)2f x -< 解： （1）设2 10 x x >>，则 221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( ) x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴ 21 1x x >，∴21 ( )x f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数 （2）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2 (21)2f x -<可化为 2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴0≠2 |21|4x -<，解得：{|2 2 2 x x x << ≠± 16，已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－2 1)=0,当x >－ 2 1时，f (x )>0. 求证：f (x )是单调递增函数； 证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－ 2 1>－ 2 1,由题意f (x 2－x 1－ 2 1)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－2 1)－1=f ［(x 2－x 1)－ 2 1］>0, ∴f (x )是单调递增函数. 17，定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. )293()3--+?x x x f (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y) ,2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0 n m )2(f )n m ()2 (f )x x ( f )x (f )x (f )1(n m 2 121 <-=-===--得由 故f(x 1) (3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质,得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2)，解得 3 2 23)3..(;.........2)(1)2()2);.......(1()1() 2 ( 2)()()0(),()()()),0(,(),0()(,18+ <<<=+==<<=++∞∈+∞b x f f f b a f b f a f b a b a mn f n f m f n m n m x f 求证：，解不等式 若求满足、且满足 、任意的上的单调增函数，对于是定义在已知 19，设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有 b a b f a f ++) ()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k ＜0对x ∈ [－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 （由 >0可得f(a)>f(b).122- A.x =1 B.x =2 C.x =－ 2 1 D.x =2 1 解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 21，定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R )---- ①令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，∴f(x)是奇函数． (2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2， b a b f a f --+) ()(2 231124010,24) 2()2()2 ( 2)(12 , )2 (2)(101,0)()()(,0)()(0)(),1(0)()1,0()0()(,0)1()3() 4,0(2)()2(0)1()1(2 2 2 22+ <<∴><--<∴<<--=∴+=∴?? ? ???+=+=∴=>++=<<<∴=∴=-=∴<<=>+∞∈<∈∴∞+=<------=b b b b a b b a b a b b a f b a f b f ab b a b a f b f b a ab ab f b f a f b a b f a f x f x x f x x f f x f f 又而即且又时，，时，上单调递增，，在的解集为解： 32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，即t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立． 2 21()(1)2,2 101(0)20,20, 100,()02 (1)801令其对称轴当即时，符合题意；1+k 当 时2 对任意恒成立解得-1k f t t k t x k k f k t f t k k +=-++= +<<-=>≥+?≥? >>????=+- 故：3 1(3)(392)0x x k f k f <-+?+--<对任意x ∈R 恒成立。 说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的 解法：分离系数由k ·3x ＜-3x +9x +2得,12213 23,13 23-≥-+ =-+ x x x u k 而 要使对x R ∈不等式23 1.3 x x k <+ -恒成立，只需 k<1 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖． 22，①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ B ） A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 解： 因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。 ②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2） 23，已知函数()f x 满足：()114 f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则 ()2010f =_____________. 解析：取x=1 y=0得2 1)0(= f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)= 2 1 24， 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（ ）C A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个 解：∵f (0) = 0→x 1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x 2 = T ，x 3 = 2T .又因为??? ? ?+=??? ??-22T x f T x f 令x = 0得??? ??-=??? ??=??? ??- 222T f T f T f ,∴?? ? ??=??? ??232T f T f =0.(本题易错选为A) 25，f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。 求a 的值。 解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6 26，函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 x=1 对称。 27，函数)(x f y =满足) (1)3(x f x f - =+，且1)3(=f ，则=)2010(f -1 。 28，（09山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方 程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=-8 29，设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 .1)2(f )3x (f 2 1)] x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(2 2 +=++ >-解方程解不等式 解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1. 则使假设存在某个又,0)x (f ,R x ,0)]2 x (f [)2x 2x ( f )x (f o o 2 =∈≥=+=f(x)=f[(x-x o )+x o ]=f(x-x o )f(x o )=0, 与已知矛盾，故f(x)>0,任取x 1,x 2∈R 且x 1 =f(x 2-x 1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2-x 1)-1]>0. 所以x ∈R 时,f(x)为增函数. 解得:{x|1 30，)xy 1y x ( f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数； （Ⅱ）).31(f )5 n 5n 1 ( f )19 1(f )11 1(f 2 >+++++ 解:(1)易证f(x)是奇函数。 （2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. ????? ???????++- ++=+++=++)3n )(2n (11)3n )(2n (1f )1)3n )(2n (1(f )5n 5n 1(f 2又)3n 1(f )2n 1(f )3n 1(2n 11)3n 1(2n 1f +-+=?????? ??????+-?+++-++= )3n 1(f )31(f )]51(f )41(f [)]41(f )31(f [)5 n 5n 1 ( f )19 1(f )11 1( f 2 +-=+-+-=+++++∴ 命题成立又).3 1 (f )3n 1(f )31(f ,0)3n 1 ( f >+-∴<+ 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 抽象函数补充练习题 1.已知函数)12(+x f 的定义域为()+∞,1，求)(x e f 的定 义域_________. 2.设函数)(x f 满足()01(2)(≠=-x x x f x f ，求)(x f 的值域____________. 3.已知定义在R 上的函数)(x f 在区间()2,∞-上单调递减，在区间()+∞,2上单调递增，求)lg (x f -的单调增区间____________和单调减区间_____________. 4.已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减，0)2(=f ，则 0)1(>-x f 的解集为_____________. 5.若偶函数)(x f 在()+∞,0上是减函数，且0)2(=f ，则不等式 0) ()(>-+x f x f 的解集为____________. 6.已知)(x f 是定义在()1,1-的奇函数，且)(x f 在[)1,0上是减函数，如果0)32()2(>-+-m f m f ，那么实数m 的取值范围为____________. 7.已知函数)(x f 定义域为R 且在R 上是增函数， ()()2,3,2,0B A -是其图像上的两点，那么2 )1(<+x f 的解集为______________. 8.已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 的奇函数，且在()∞+，0上为增函数，0)2(=-f ，则不等式0)( 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 整理：河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 数学练习题抽象函数(含答案) 高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1 x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶 性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m ) 6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0. （1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ， 当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）若f （k ) 293()3 --+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成 立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示. 抽象函数经典综合题３3例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答） 1.定义在R 上的函数ｙ=ｆ(x)，f(0)≠0，当x ＞０时,f(x)>1，且对任意的a 、ｂ∈Ｒ，有f(a+b ）=f(a)f(b), （1）求证：ｆ(0)=1; （2）求证:对任意的x ∈Ｒ,恒有f(x)>0; (3)证明：ｆ(x)是R 上的增函数; （4)若f(x)·f(２x-ｘ２ )>1，求x 的取值范围。 解 (１)令a=ｂ=0，则ｆ（０）=[f(０)]2 ∵f(0)≠0 ∴ｆ（０)＝1 (２)令ａ=x ，b=-x 则 ｆ(0)=f(x)ｆ（－x ） ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>０时，f(x ）>1>0,当x ＜0时,－ｘ>0,f （－x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0）=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 （3)任取x 2>x 1，则ｆ(x ２)>０,f(ｘ1)＞0，x ２-ｘ1＞0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f （x 1) ∴f(x ）在R 上是增函数 (4)ｆ(x)·f(2ｘ-ｘ2 )=f[x+(2ｘ-x ２ )]=f(－ｘ2 ＋3ｘ）又1=f （0)， ｆ(ｘ)在Ｒ上递增 ∴由ｆ(3ｘ-x 2 )＞f(0）得:3x-x 2 >0 ∴ 0＜ｘ<3 ２．已知函数()f x ,()g x 在 R 上有定义，对任意的,x y R ∈有 ()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠ (1）求证:()f x 为奇函数 （2)若(1)(2)f f =, 求(1)(1)g g +-的值 解（1）对x R ∈,令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=ｆ（v)g(u ）-ｇ(v)f(u ）=ｆ(u-v)=-[f(u ）g （v ）- g(ｕ)f(v ）］=－f(x) ? ? ?? ? (2）ｆ（2）=f{1－(-1)}=f （1)g （-1）-g(1)ｆ（-１)=ｆ(1)ｇ(-1)+ｇ(1)f(１)=f （１)｛g （-１）+g(1)} 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。 例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得 所以函数的定义域是 评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题 实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问题 例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①； ②，求f(3)，f(9)的值。 解：取，得 因为，所以 又取 得 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已 知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。 解：令，得，即有或。 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意 所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。 解：在中以代换其中x，得： 再在(1)中以代换x，得 化简得： 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<，则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<，则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立，若(8)4f =，则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，(4)2f ∴=，又令2x y ==，得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =，则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n = 抽象函数常见题型及解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模型 1．指数函数模型 2．对数函数模型 3．幂函数模型三、研究函数的性质 1．抽象函数的单调性问题2．抽象函数的奇偶性问题 3．抽象函数的周期性问题 4．抽象函数的对称性问题四、抽象函数的综合（祥见《高中生》杂志05年10期上半月刊学习辅导版） 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出. 抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模型 1．指数函数模型 2．对数函数模型 3．幂函数模型三、研究函数的性质 1．抽象函数的单调性问题2．抽象函数的奇偶性问题 3．抽象函数的周期性问题 4．抽象函数的对称性问题四、抽象函数的综合（祥见《高中生》杂志05年10期上半月刊学习辅导版） 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模 经典习题1 1. 若函数 (21)f x +的定义域为31,2? ?- ?? ?,则函数2(log )f x 的定义域为 ( ) A. 1 ,22?? ??? B. 1,22?????? C. 12? ? D.12 ??? 2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A ．102 B ．99 C ．101 D ．100 3. 定义R 上的函数 ()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f = +== 且则（ ） A B ．2 C ．4 D ．6 4. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。若 2(1)(1)0 f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 ___________________. 5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都 有: ()()() f xy f x f y =+成立.则不等式 2(log )0 f x <的解集是 _____________________. 6. 已知函数 () f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 ,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1),(1)f f f -的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; 含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴ lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=? -- 高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。 解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x () ()()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0 时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。 解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()()， 故f x ()为奇函数， ∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - / 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0 抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类 函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的 目录：一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求函数()x ?的值域。 二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验; 练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （ 1 2 ） 2.的值是则 且如果) 2001(f ) 2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+Λ 。2000 3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C A.-1 B.1 C. 19 D. 43 4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0 解析：先令3-=x 三、值域问题（单调性，奇偶性，周期性） 例1.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。 由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2 ≥?? ? ??=x f x f ,又因为若f(x)=0, 则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 例2、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值围. 解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y) , 2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0n m )2(f )n m ()2(f )x x ( f )x (f )x (f )1(n m 2 1 21<-=-===--得由 故f(x 1) 高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211 x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知331 1()f x x x x +=+，求()f x 解：∵2221 1111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22 f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ D P C P A P B 换元法（3）13)2(2++=-x x x f 待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数练习题
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
数学练习题抽象函数(含答案)
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
2020高考数学 抽象函数常见题型解法综述
2014高中数学抽象函数专题
【智博教育原创专题】抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型及解法综述.doc
抽象函数经典习题
抽象函数习题精选精讲1
抽象函数常见题型解法
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数常见题型解法
抽象函数题型大全例题含答案
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题