高中数学专题抽象函数

高中数学专题--抽象函数

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函

数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型

抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)

f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n

f(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1)

f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1)

f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx

f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx

)y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx )y (f )x (f )

y (f )x (f 1)y x (f +-=

+ 目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题

四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题

七、周期性与对称性问题 八、综合问题

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。

解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。

评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解函数()x ϕ的不等式问题。

11≤≤-x

练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求函数()x ϕ的值域。 练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1

(2-3x)的定义域为

，值域为 。(]8,3,34,0⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;

例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2

且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： ,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,

∴f(1)=2

1,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即 ②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1

(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.

例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1

解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 ,

又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1

即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),

故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.

7

1)71(7)1(,,3)73(,2)72()72(21)2720()71(,)71()2(21)],1([)1()24341()21()1()43(,)41()21()1(522==∴===∴=+===-++-=+=+-==∴=b f b f b f b f f f f b f a a a a a a a f f a a a f a f a f 同理则设可解得又、练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，

则f = （12

）2.的值是则

且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。2000 2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)

f f f f f f f f f +++++= .( ()2n f n =,原式=16)

3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C

A.-1

B.1

C. 19

D. 43

4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）（B ）

A . 2005 B. 2 C.1 D.0

5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数

为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）（A ）

A ）18

B ）116

C ）8

D ）16 的值求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)71()2()1()()()1()2(,,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<< 三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。

解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。

由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2

≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f ,又因为若

f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.

四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，

例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2

x, 求f(x)