抽象函数高一练习题
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、1、已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，
.2)1(.0)(-= (1)判断)(x f 的奇偶性； (2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f 2、已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时， f x ()>1，求证： （1）x >0时，01< （27）＝9，当时，。 （1）判断f （x ）的奇偶性； （2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； 4、函数f (x )的定义域为D {}0x x =>, 满足: 对于任意,m n D ∈，都有 ()()()f mn f m f n =+，且f (2)=1. (1)求f (4)的值； (2)如果(26)3,()(0,)f x f x -≤+∞且在上是单调增函数，求x 的取值范围. 5、.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+ （Ⅰ）求()()0,1f f 的值； （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； 6、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当时，。 （1）判断f （x ）的奇偶性； （2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； 答案：1、解（1）取,0==y x 则0)0() 0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则 )()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x 0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f ),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6 （3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2 -+<-+f ax f x f ax f 进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f 而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax .0)1)(2(>--∴x ax ∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且