材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析

c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
第七章
弯曲应力
§7-1纯弯曲时梁横截面上的正应力
一. 纯弯曲：
F
A
F
D B
纯弯曲：
FS = 0，M = const
F
FS
a
C
l
F F
a
F
横力弯曲：
FS ≠ 0，M ≠ 0
M
Fa
CL8TU1
CL8TU2
M
FS
dA M
dA
dA FS
dA
dA
在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯 矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力FS

0
M
y 设中性轴为z
M y z dA 0 M z y dA M
A
z
dA
FN dA 0
A


E dA 0 A
y
E


A
ydA 0

A
ydA S z 0
中性轴 Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y z dA 0 zE
中性层
中性层与横截面的交线称为中性轴
一.几何方程
y
y
z
d

y dx dx ( y)d d y dx d
二. 物理关系
y
dx
y E E dx 一点的正应力与它到中性层的距离成正比。
三.静力学方程
F N dA
A
A
E
y
y
zydA I yz 0
A
A
A
A

dA
E
zydA 0
A
截面的惯性积（ y为对称轴）
M z y dA M
yE dA M
y
2 y dA I z
A
截面对z轴的惯性矩
A
M EI z
1
中性层的曲率公式
1.正应力
My IZ
2.横截面上的最大正应力
M max1
P1 h P2 b
[例7-2]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高 承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则 副梁的最佳长度a为多少？ P a a
解：
A
C
l P 22
2
2
l 2
D
B
P2
A
B
主梁AB:
M max AB P (l a ) 4
M
(l a) / 2
M x y Iz
二.梁弯曲正应力强度条件 max [ ]
max
M max [ ] WZ
利用上式可以进行三方面的强度计算： ①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度； ②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;
M max Wz [ ]
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
dy
y
3.简单截面的抗弯模量
(1)矩形：
Iz bh3 2 Wz h / 2 12 h
1 2 Wz bh 6
y
(2)圆：
Wz
D
D 4
64( D / 2)

D3
32
0
Z
(3)圆环
WZ
( D 4 d 4 )
64( D / 2)

D3
32
(1 )
4
y
式中
d D
M y1 t IZ
M y2 , c IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
若y1 y2 ymax
则 t c max
M y max M max IZ WZ Iz Wz Wz 称为抗弯截面模量 y max
y
1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。 2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。 3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
6
21


或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 12.5 560 z a 166
max 160MPa
21
ya a max y max
560 21 2 160 MPa 148 MPa 560 2
例4-16 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简 图。钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择 工字钢的号码。
10kN / m
200
2m
FS
25
45kN
4m
100
15kN
解：由弯矩图可见
M max 20kN m
20 15
20
M max 20 103 t 0.1 0.2 2 / 6 Wz t 30MPa< [ ]
该梁满足强度条件，安全
M
11.25
[例7-4]图示铸铁梁，许用拉应力[σ t ]=30MPa，许 用压应力[σ c ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此 梁的强度。
40 z
180
A
20
y 20
M M
max max
Fb 4 Fb 2
Fb/4
发生在截面C 发生在截面B
134
C b
B b b Fb/2
D
C 形心
86 z
据此作出梁的弯矩图如下 q=F/b F
120 40
2、计算最大拉、压正应力 Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
y2 60 280 z 得
d 24 mm
d
y1
截面对中性轴的惯性矩为
O
y 24 2203 2 Iz 24 220 (210 110) 220 12 220 603 60 220 (280 30 210) 2 12 6 4 99.2 10 mm
FA
FB
20
y 20
F 解：1、梁的支反力为 FA 4
7 FB F 4
134
b
180
A
C b
B b
D
C 形心
86
例4-18 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截 面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许 用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。 试求梁的许可荷载[F ] 。 120 q=F/b F
21
2、查型钢表得
56号工字钢 3、求正应力为
I z 65586cm4
Wz 2342cm3
max
12.5
560
M max 375 106 N mm 160 MPa 3 3 Wz 2342 10 mm M max y a a Iz
z
a 166
560 375 10 N mm 21 mm 2 65586 104 mm4 148 MPa
d D
x
§7-2 横力弯曲时的正应力及正应力强度条件
一.横力弯曲时的正应力
My IZ
上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推 导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪 切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理 论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。
M
FS
三个方面: 静力学关系 变形几何关系
M 一.几何变形 (1)aa、bb弯成弧 线，aa缩短，bb伸 长
jastin4.swf 物理关系
m a
b m
n a
b n
M
(2)mm、nn变形后仍 保持为直线，且仍与M 变为弧线的aa，bb正 交； (3)部分纵向线段缩短 ，另一部分纵向线段 伸长。
梁上的最大弯矩 M max
d
y2 60 280
Fl 80 2 40 kN m 4 4 c,max
O
y1
O
z
y 220 于是最大压应力为
z
t,max
M max y 2 40 106 N mm 210 mm c, max 6 4 Iz 99.2 10 mm 84.7 MPa [ c ] 即梁满足强度要求。 t ,max 28.23MPa [ t ]
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
M B y2 F / 2 2 103 mm 86 mm 30 MPa 3 4 Iz 5493 10 mm F 19.2 kN


20
y 20
Fb/2
40 180
120
C 形心 86 z 134
Fb/4
考虑截面C：
M C y1 F / 4 2 103 mm 134 mm t,max 30 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 24.6 kN M C y 2 F / 4 2 103 mm86 mm c, max 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm
d
y2
y1
A 1m
F=80 kN
C
2m
B
O y 220
60 280 z
解： 根据截面最为合理的要求
30 1 y1 [ t] y 2 [ c] 90 3
y1 y 2 210
y y2 210 mm
即
220 60 250 (280 60) d (280 60) / 2 y 210 (280 60)d 220 60
例4-14 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知 F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max 和同 一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
12.5
A FA 5m C 10m B 375 kN.m FB z a 166 560 F
M 解：1、作弯矩图如上， M max
Fl 375 kN m 4
52
9 kN
1m
4 kN
D
88
C截面
C
A z
C
1m
B
2.5 kN
2.5 88 t 28.8MPa ＜ t Iz 2.5 52 c 17MPa ＜ Iz
c
105 . kN 4
1m
M
2.5
B截面 4 52 t 27MPa＜
Iz
t
4 88 c 46MPa ＜ Iz
[M ] Wz [ ]
三.算例 [例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同， 但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条 件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
l
P 1l 2 解： max1 Wz1 bh / 6 M max2 P2l max2 2 Wz2 hb / 6 由 max 1 max 2 [ ] 得:
F A FA 2.5m 2.5m 2.5m 10 m 2.5m
F
F=75kN
B FB
单位： kN· m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
3 FA FB F 102 .5 kN 2
281 Байду номын сангаас75
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
Wz
M max

M max Wz 6 375 10 N mm 2460 103 mm3 152 MPa
(l a) / 2
M maxAB P(l a) / 4
P
副梁CD:
C a
D
M max CD
Pa 4
M
由 (M max ) AB (M max )CD
(M max ) CD
Pa 4
Pa P (l a ) 4 4
得
l a 2
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。