有限元 第6讲_空间单元

因而一个三维问题，就变成只与
rz
有关。
我们就可以取其对称面(子午面)来进行研究。 由对称性可知道，位移、应变、应力都与 无关。
各节点的位移有两个独立分量。 分别为r方向的径向位移 以及沿 z 轴方向的位移 w
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轴对称物体的离散形式
• 轴对称物体的离散化先在子午面内 进行，然后绕对称轴旋转一周。 • 轴对称物体的离散形式是用理想铰 联系的有限个(三)棱圆环单元 。 • 由于轴对称问题的特点，子午面上 的任意一点在变形后仍在该子午面 上。 • 轴对称问题的分析实际上是二维分 析或退化了的三维分析。
V V
由于被积函数与θ无关，故在三角形截面的环 单元的积分可简化为在三角形截面上的积分。故有：
[ k ] 2 [ B ]T [ D ][ B ]rdrdz
A
G g ( r, z )drdz g ( r, z )drdz
A1 A2
dr g ( r, z )dz dr
– 单元形状：2a×2b×2c – 节点：8个 – 节点编号规则 – 局部坐标系 因此： – 节点坐标值 3个坐标方向： ξi ηi ζi (i. j, m, p) – 节点位移（自由度） (i. j, m, p) 3个坐标方向： ui, vi, wi – 单元节点位移列阵（局部坐标系下） T
e 1 2 3 4 5 6 7 8 i ui vi wi T
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• 单元中任意一点的应力：
{ } [ D][ B]{ }e [ S ]{ }e
单元刚度矩阵 的积分参照图示 分区，按下式采 用数值积分的方 法进行
单元刚度矩阵
[k ] [ B ]T [ D ][ B ]dV [ B ]T [ D ][ B ]rdrddz
b z1r c
a
z2
b
z3 ( r )
z1 ( r )
g ( r, z )dz
当单元较小时，可把各个单元中的r，z 近似看作常数， 并且分别等于各单元形心的坐标，即
• 本章重点和要求： 了解空间问题的有限元法的原理和解题方法，熟 悉常用实体单元的类型和特性，掌握常用实体单元 的有限元分析方法。
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5.2 4节点四面体常应变单元
1. 单元描述 –节点：4个 –节点编号规则： –节点坐标值 3个坐标方向： xi, yi, zi (i. j, m, p) –节点位移（自由度） 3个坐标方向： ui, vi, wi (i. j, m, p) –单元节点位移列阵 e ui vi wi u j v j wj um vm wm u p vp wp T –单元共有12个位移分量。
5.3 8节点六面体单元（砖形单元）
• solid65单元：ANSYS Solid65单元专为混凝土、 岩石等抗压能力远大于抗拉能力的非均匀材料开 发的单元，最多可以定义3种不同的加筋材料。混 凝土具有开裂、压碎、塑性和蠕变能力，加筋材 料只能受拉压，不能受剪切力。同时假定钢筋和 混凝土粘接良好，钢筋在混凝土中的布置以不同 方向的体积配筋率形式表示。这就是所谓的整体 模型。当然，就ANSYS而言，也可采用分离式模型： 混凝土 用Solid65单元，钢筋用Link单元或Pipe 单元，可以引入弹簧单元来模拟粘接和滑移。 1. 单元描述

1 0 0 0
1 2 2(1 ) 0
要求：掌握单元 刚度矩阵的推导 过程！
5.2 4节点四面体常应变单元
5.
•
单元等效节点载荷 （对 非节点载荷而言）
节点载荷列阵
平面问题： dV hdxdy dS hdl
集中力 体力 面力
ANSYS 中 Solid45
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3
1
2

r
y
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• 其中形函数：
1 Ni (ai bi r ci z )(i, j , m) 2A
单元中位移
几何方程
径向正应变、环向正应变、轴向正应变、剪应变 与平面问题比较，多了一项 , 这项应变的产生主要是由于径向位移 引起的，因为径向方向有了位移之后 ，使原来的周长 2 r 发生了改变， 因而产生环向应变。
应力分量 物理方程
1 1 1 E (1 ) [ D] (1 )(1 2 ) 0 0 0 1 对 1 0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0 称 1 2 2(1 )
u, v, w
一维杆元、二维平面单元、三维实体单元 –结构单元 特点：每个节点最多有6个位移分量（自由度）
2. 空间问题的有限元法：
– 未知量 采用“位移法”，选取节点位移作为未知量 – 基本步骤 先“离散”，再“单元分析”，后“整体分析”，最后 “求解整体平衡方程”
u, v, w,θx,θy,θz
• 根据弹性力学理论，空间轴对称问题的应力-应变关系 为 轴对称问题的应力分量不是三 个，而是四个，即轴向正应力 r 、径向正应力 、周向正应力 、和剪应力 。
其中
fi
ai cz bi i (i, j , m) r r
{ } [ D]{ } z rz
梁元 4.空间问题的常用实体单元：
4节点四面体单元、8节点六面体单元、等参单元
• 4结点四面体单元：是空间问题最简单的单元，也是常应 变、常应力单元，可以类似平面问题三结点三角形单元进 行分析。 • 8结点长方体单元：可以类似平面四结点矩形单元进行分 析。 • 8结点直边六面体单元：可以类似平面四结点任意四边形 等参元分析 。 • 20结点曲边六面体单元：等参单元,可以类似平面八结点 曲边四边形等参元进行分析 。 • 轴对称单元：一平面单元绕一对称轴旋转形成的空间问题。 只需在rz平面划分网格，就像平面问题xy平面中的网格一 样，这样这类空间问题可以得到简化。 （环向位移等于 零）
5. 单元平衡方程（单元刚度矩阵）
20节点六面体单元
5.4 空间轴对称问题的有限元法
5.4 空间轴对称问题的有限元法
• 空间轴对称问题 – 特点：几何形状、约束条件、外载荷来自百度文库对称于 某一轴线。 因此，位移、应变和应力分量都对称于该轴。 – 有限元法：
• 为了简化问题、加快求解速度，采用绕对称轴旋转 一周的环形单元(3节点三角形轴对称单元、4节点 矩形轴对称单元)进行有限元分析。 • 有限元分析步骤和平面问题相同。
z
3
1
2

r
y
单元分析
一、单元节点位移向量
在圆柱坐标上，取一个绕z轴旋转而成的三角形截面，其 轴对称环状元素如图所示。子午面上任意一个三角形单元123 的单元节点位移向量为
2. 位移模式
{d e } {u1
w1 u2
w2
u3
w3 }T
z
• 轴对称问题的环向位移恒等于 零，径向r位移与轴向z位移不 等于零。对于图示情形，依照 平面问题的三角形单元分析， 取位移模式为
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有限单元法及软件应用
山东建筑大学 2011
进度安排
• • • • • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 有限元方法概述 数理力学基础 简单杆系结构有限元法 弹性力学平面有限元方法 空间问题有限元法 等参元和高斯积分 梁结构单元 板壳问题有限元法 结构动力问题有限元法
[B]矩阵中含有变量r，z，因此它不是常数矩阵， 即轴对称问题的三角形环形单元不是常应变单元。
弹性矩阵:
1 1 E (1 ) [D] (1 )(1 2 ) 1 0
对 1

1 0
1 0
称 1 2 1
单元共有24个位移分量（自由度）。
5.3 8节点六面体单元
2. 位移模式
5.3 8节点六面体单元
3. 几何方程（描述物体的几何变形程度：应变与位 移的关系）
利用坐标映射关系 推导出偏导数映射 关系！
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5.3 8节点六面体单元
4. 物理方程（描述材料特性：应力与位移之间的关 系）
5.3 8节点六面体单元
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轴对称条件
• 当分析结构同时满足以下三个条件时，可认为是轴对称问 题。 1)轴对称物体：指它的几何形状是由物体的某一平面图形绕 平面上某一轴旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。 • 2)边界条件轴对称：要求结构受到的载荷和位移约束条件 具有轴对称性。 • 若它所受载荷是因结构旋转而产生的惯性力，则旋转轴必 须是对称轴A-A • 若要考虑重力，轴线A-A则必须处于垂直方向，否则重力 和惯性力就不会满足轴对称条件。 3)材料轴对称：要求结构的材料特性具有轴对称性。
进度安排
• • • • • • 10 材料非线性问题 11 几何非线性问题 12 热传导问题 13 有限元Fortran程序设计 14 ANSYS有限元软件 期末考试 5.1 5.2 5.3 5.4
空间问题的有限元法
简介 4节点四面体常应变单元 8节点六面体单元 空间轴对称问题的有限元法
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5.2 4节点四面体常应变单元
2. 位移模式 • 形函数的定义
u e v [ N ] w
其中系数为常数项，由节点坐标值决定。
5.2 4节点四面体常应变单元
xj ai xm xn xj xn
1 1
yj ym yn 1 zj 1 zn
xi xj yi yj ym yn
ai rj z m rm z j bi z j zm c r r i m j
(i, j, m)
e e
{ f } [ N ]{ } [ N i N j N m ]{ }
u r r u r { } w z z u w rz z r
zj zm zn
1 yj bi 1 ym 1 xj d i xm xn yn
zj zm zn
yj 1 yj 1 yj 1
3. 几何方程（描述物体的变形程度：应变与位移 的关系） z xy yz zx T x y • 应变分量
ci xm 1 zm
[2 (r u ) 2r ] / 2r u / r
将u,w表达式代入上式，整理后
{ } [ B ]{ }e [ Bi B j Bm ]{ }e
• 式中
bi 1 fi [ Bi ] 2A 0 ci
0 0 (i, j , m) ci bi
• 当材料是各向同性材料时，这种条件是自然满足的。 • 当材料是正交各向异性材料时，则材料主轴应与结构的径
向、切向和轴向一致。
• 在轴对称问题中，常以圆柱坐标来表示。为了方 便，一般取柱坐标系 • 空间轴对称问题，一般来说是三维问题，但由于 对称性，再轴对称载荷作用下所产生的位移，应 力与应变必然对 ？ 轴对称。
zi zj zm zn
•
几何方程
B为常数 矩阵。 因此，为 常应变单 元！
V
1 xm 1 xn
编号约定：当沿i,j,m的方 向转动时，n在大拇指所指 的方向
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5.2 4节点四面体常应变单元
3.
• •
5.2 4节点四面体常应变单元
4. 单元平衡方程（单元刚度矩阵）
物理方程（描述材料特 性：应力与位移的关系）
5.1 简介
1. 弹性力学空间问题与平面问题的区别：
基本方程：
空间：3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程； 平面：2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程；
3.有限单元类型： –连续单元 特点：每个节点最多有3个位移分量（自由度）
基本分量：
空间：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量； 平面：2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量；