二次函数存在性——等腰,直角三角形
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二次函数存在性
——等腰和直角三角形问题
回顾：
1、如图，0为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得 与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画 多少个?并求出P点坐标.
y
Ｄ x
O
①当OD=OP时
y Ｄ
②当DO=DP时
y Ｄ
③当PO=PD时
y
E
Ｄ x P3 F
P1
O
P2
x O
B
P4
x
O
OP OD 3 4 5
C
2 y ax 8ax 12a(a 0) 与轴交于 2．如图9，抛物线 A,B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使 △OCA∽△OBC. y (1)求线段OC的长.： (2)求该抛物线的函数关系式．
(3)在X轴上是否存在点P， 使△BCP为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合 条件的点P的坐标；若不 O 存在，请说明理由.
（3）在（2）的结论 下，直线x＝1上是否 存在点M，使△MPQ 为等腰三角形？若存在， 请求出所有点M的坐标； 若不存在，请说明理 由．
自学指导2（6分钟）
已知：O为坐标原点，A(2, 1)，点P是x轴上一 动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标
y
A
0
x
已知：O为坐标原点，A(2,4),点P是直线x=3 上一动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标.
3.如图矩形OABC中,A(0,8)，C(6,0) 抛物线y=-4/9x2+bx+c经 过A、C两点，与AB边交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一 个动点，AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值； ②当S最大时，在抛物线y=-4/9x2+bx+c的对称轴l上若存在点F， 使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标； 若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点（点A在 点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的 对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线及直线AF的解析式； （2）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由． （3）在抛物线上是否存在点M， 使△ACM是以AC为直角边的三 角形？若存在，求出M点坐标； 若不存在，说明理由．
A A
P1
0
P3
P4
0
3 3
P2
两线一圆
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC 为直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标； 2-x-2 0 y = x ①当PCA 90 时
1 7 P 1 ( , ) 2 4
②当PAC 90 时
0
1 3 P2 ( , ) 2 4
2 2
P1 5,0, P2 5,0
PB OB 4
P 8,0
4
5 OP 5 25 OE OP 8 2 5 4
①利用两腰相等
②利用“三线合一”
25 ,0 P3 8
③利用图形相似或 勾股定理
2
两圆一线
先找点,后求解 找点方法:两圆一线 2、如图,已知点A(1,0)、点B (－3,0)和点C(0,3).直线 x 1与 x 轴交于点M ，问在直线 x 1 上是否存在点P，使△CMP为 等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由． P1
C
AD
B
x
图9
1. 已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12， 0）和C（0，－6），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的解析式： （2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段 AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某 一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使 线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒） 和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
y
P2 P3 B M A
C
x
P4
1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、 C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上wenku.baidu.com一个动点，当△PAC的周长最小 时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在， 请说明理由．
（-1，0） A
O
（0，-2）C
自学检测1（5分钟） 1.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象与一 次函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、 E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若 存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
——等腰和直角三角形问题
回顾：
1、如图，0为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得 与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画 多少个?并求出P点坐标.
y
Ｄ x
O
①当OD=OP时
y Ｄ
②当DO=DP时
y Ｄ
③当PO=PD时
y
E
Ｄ x P3 F
P1
O
P2
x O
B
P4
x
O
OP OD 3 4 5
C
2 y ax 8ax 12a(a 0) 与轴交于 2．如图9，抛物线 A,B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使 △OCA∽△OBC. y (1)求线段OC的长.： (2)求该抛物线的函数关系式．
(3)在X轴上是否存在点P， 使△BCP为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合 条件的点P的坐标；若不 O 存在，请说明理由.
（3）在（2）的结论 下，直线x＝1上是否 存在点M，使△MPQ 为等腰三角形？若存在， 请求出所有点M的坐标； 若不存在，请说明理 由．
自学指导2（6分钟）
已知：O为坐标原点，A(2, 1)，点P是x轴上一 动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标
y
A
0
x
已知：O为坐标原点，A(2,4),点P是直线x=3 上一动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标.
3.如图矩形OABC中,A(0,8)，C(6,0) 抛物线y=-4/9x2+bx+c经 过A、C两点，与AB边交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一 个动点，AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值； ②当S最大时，在抛物线y=-4/9x2+bx+c的对称轴l上若存在点F， 使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标； 若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点（点A在 点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的 对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线及直线AF的解析式； （2）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由． （3）在抛物线上是否存在点M， 使△ACM是以AC为直角边的三 角形？若存在，求出M点坐标； 若不存在，说明理由．
A A
P1
0
P3
P4
0
3 3
P2
两线一圆
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC 为直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标； 2-x-2 0 y = x ①当PCA 90 时
1 7 P 1 ( , ) 2 4
②当PAC 90 时
0
1 3 P2 ( , ) 2 4
2 2
P1 5,0, P2 5,0
PB OB 4
P 8,0
4
5 OP 5 25 OE OP 8 2 5 4
①利用两腰相等
②利用“三线合一”
25 ,0 P3 8
③利用图形相似或 勾股定理
2
两圆一线
先找点,后求解 找点方法:两圆一线 2、如图,已知点A(1,0)、点B (－3,0)和点C(0,3).直线 x 1与 x 轴交于点M ，问在直线 x 1 上是否存在点P，使△CMP为 等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由． P1
C
AD
B
x
图9
1. 已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12， 0）和C（0，－6），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的解析式： （2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段 AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某 一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使 线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒） 和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
y
P2 P3 B M A
C
x
P4
1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、 C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上wenku.baidu.com一个动点，当△PAC的周长最小 时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在， 请说明理由．
（-1，0） A
O
（0，-2）C
自学检测1（5分钟） 1.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象与一 次函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、 E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若 存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．