第二节数项级数敛散性判别法

解 （1）由于
1 lim
n
cos 1
1 n
1 2
n2
因为
n 1
1 n2
收敛，由比较法知 n11cos1n
收敛.
（2）由于当
n 时
ln131n
~31n
因为
n 1
2 3
n
收敛，由比较法知
2n
n1
ln131n
收敛.
定理 (比值判别法) 若正项级数 u n 后项与前项之
比值的极限 limun1 ，则
n3 2n
的敛散性.
解 所给级数的通项 un
n n3 2n
n
由于
lim
n
n 3 2 n lim
1
n
n3 lim n3 2n n
n2 n2 2
1,
n1/2
1 因为 1
n n 2 2
发散，由比较法知
n2
n n3 2n
发散.
例
判别
(1 )1cos1,
n1
n
(2n )12nln131n的敛散性.
第二节 数项级数敛散性判别法 一、正项级数及其判别法 二、交错级数及其敛散性 三、绝对收敛于条件收敛
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第二节 数项级数敛散性判别法
一、正项级数及其敛散性
定义
若数项级数
un
的一般项 un0(n1 ,2, )
n 1
则称 u n 为正项级数.
n 1
对于正项级数
u
n 1
n
，由于un0,n1,2, ，因此
1 2 1 p2 1 p 4 1 p4 1 p4 1 p4 1 p 8 1 p 8 1 p
121 p121 p1221 p13 .
8 项
后者级数为等比级数,
公比
r
1 2p1
1,
级数收敛.
因此，利用比较判别法可得知,
当p>1时，
n
1
1 n
p
收敛.
综合上述有 n 1n1p当 p1时收 0敛 p1时 ，发 . 散
n 1
n 1
例
判定级数 n1
1 1 n2 的敛散性.
解
所给级数的通项 un
1 1 n2
由
u n1 1n 21 2 1 n n 2 n 1 1 ,
或由
lim 1 1lim n 1 n 1n2 n n 1n2
因级 数1 1
n1n1 n2n
发散故，
n1
1 1n2
发散 .
n
例
判别级数 n2
在使用比较判别法时，需要根据待判别级数特征， 选择一个比较级数，常用的比较级数为
级数名称 等比级数 调和级数
p-级数
表达式
ar n
n0
1
n1 n
n
1
1 n
p
级数敛散性 0r1 收敛
r1 发散
发散 p 1 收敛 0p1 发散
为了使用上的方便，比较判别法可以写成下面极
限形式.
定理(比较判别法2)
设两个正项级数
推论 若正项级数 v n 收敛，且存在N，当 nN n 1
时，有
0unknv，则正项级数
n
1
u
n
也收敛.
若正项级数 v n 发散，且存在N，当nN时，
n 1
有unkn(v k0 )，则正项级数
un
也发散.
n 1
例
判定级数
(1)
1
;
n12n 1
(2) n1
n n 2n1
的敛散性.
解 (1)因为 un2n 1 12 1 n0(n1 ,2, )
解
若p =1，则级数为调和级数
1
发散.
n1 n
若0<p<1,
因un
1 np
1，又调和级数 n
n
1
1 n
发散.
由比较判别法可知
Baidu Nhomakorabea
n
1
1 n
p
发散.
若p>1, 将级数加括号有
1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 6 1 p 7 1 p 8 1 p 1 1 p 5
n 1
n un
（1）当 1时，级数收敛；
（2）当 1时，级数发散；
（3）当 1时，级数可能收敛也可能发散.
说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主 要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数
S n 1 u 1 u 2 u n u n 1 S n u n 1 S n ,
可知数列 S1,S2, ,Sn, 为单调增加数列.
定理 正项级数 u n 收敛的充分必要条件为：它的 n 1
前n 项部分和所构成的数列 {Sn}有上界.
定理(比较判别法1) 设两个正项级数 u n 与 v n ,
如果 n
1
v
n
收敛,
可知Tn
有上界, 从而知 {S n }有上
界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知 u n 收敛.
n 1
如果
u
n 发散,
可知
S n
无界,
从而知
{Tn }
无界.
n 1
因此，级数
vn
也发散.
n 1
说明：在比较判别法的条件中, 只要从某一项起有
u n k n ( k v 0 ,n N ,N 1 , )就可以.
例 判定 (1)
1
, (2)
1
的敛散性.
n1(n1)(n4) n1n n2
解 (1)因为 0un(n1)1n (4)n12
而级数
n 1
1 n2
收敛，由比较法知
1
收敛.
n1(n1)(n4)
(2)因为 0unnn 12n1nn12 3
1 而级数 3
n n 1 2
收敛，由比较法知
1
收敛.
n1n n 2
π 2n
为正项级数.
因当x>0时，有sin
x<x，因此
un
sinπ 2n
π. 2n
若取 v n
π 2n
，则
vn
n1
π
n12n
为等比级数且收敛，
因此 ，由比较判别法可知 sin
n 1
π 2n
收敛.
例 判定 p-级数 n 1n 1 p12 1 p3 1 p n 1 p
（其中p>0为常数）的敛散性.
n 1
n 1
如果满足 u nvn,(n1 ,2 , )， 那么
(1) 若 v n 收敛, 则 u n 收敛.（大的收敛小的必收敛）
n 1
n 1
(2) 若 u n 发散, 则 v n 发散. (小的发散大的必发散）
n 1
n 1
证明
对于正项级数
u
n
与
vn
，由 un vn 则有
n 1
n 1
0 S n u 1 u 2 u n v 1 v 2 v n T n ,
u
n
与
vn
,
n 1
n 1
且vn0(n1 ,2, )若极限
limun l(0l) 则 v n
n
（1）当 0l 时，级数 u n 与 v n 敛散性相同.
n 1
n 1
（2）当 l 0时，若级数 v n 收敛，则级数 u n 收敛.
n 1
n 1
（3）当l时，若级数 v n 发散，则级数 u n 发散.
而级数
1
发散，由比较法知
1
发散.
n1 2 n
n1 2n 1
(2)对于正项级数
n1
n 2n
n
1
因为 un2nn1n1 2n(n1,2, )
而级数
n 1
1 2
n
收敛，由比较法知
n1
n 2n
n
1 收敛.
例
判定级数 sin
n 1
π 2n
的敛散性.
解
unsi2n πn0(n1,2, )， 故 n1 sin