椭圆教学设计
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椭圆及其标准方程
(1)取一条一定长的细绳
(2)把它的两端用图钉固定在纸板F1和F2上
(3)当绳长大于两图钉之间的距离时,用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动,画出一个图形
对学生提出的轨迹命题如:
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”
在此基础上,引导学生概括椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件:“在平面内”.
(2)这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意:若常数=| F1F2|,则是线段F1F2;若常数<| F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:“此常数大于| F1F2 |”.
(二)椭圆标准方程的推导
1.标准方程的推导
由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.
如何建立椭圆的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分:(1)建系设点;
(2)点的集合;(3)代数方程;(4)化简方程等步骤.
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距
离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图).设| F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(-1,0),F2(c,0).
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
(3)代数方程
(4)化简方程(学生板演,教师点拨)
2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)
0)、
F2(c,0),这里c2=a2-b2;
-c)、
F2(0,c),这里c2=a2+b2,只须将(1)方程的x、y互换即可得到.
教师指出:在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
(三)例题讲解
例 1.下列方程哪个表示椭圆?
1
16
16)
(2
2
=+
y x A
1
1625)(2
2-=+y x B
156)(2
222=-y
x C
623)(22=+y x D
例2、填空: (1)已知椭圆的方程为
则a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐标为:____________焦距等于______。
(2)已知椭圆的方程为: ,则 a=_____,b=_______,c=_______, 焦点坐标为:__________,焦距 等于_________;
若曲线上一点P 到一个焦点F1的距离为3,则点P 到另一个焦点F2的距离等于________,
则∆F1PF2的周长为___________ (四)课堂练习: 练习 1、2 (五) 课时小结
1.定义:椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.
图形:
3.数学方法总结
数形结合类比分类讨论的数学思想(六)布置作业:习题 A组 1,2
板书设
计
椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程例
(1)焦点在x轴上
(2)焦点在y轴上
教学反
思