天津市部分区联考2018-2019学年度第二学期期末考试高二数学试题及答案

天津市部分区2018～2019学年度第二学期期末考试

高二数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.

第Ⅱ卷（非选择题，共80分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11．1.7 12．36 13．2 14．12 15．22,e ⎡⎫−−⎪⎢⎣

⎭ 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：设事件A 为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，

事件A 的对立事件A 为“抽取的3天空气质量都不为良”，………………1分 从7天中随机抽取3天共有37C 种不同的选法， …………………………2分 抽取的3天空气质量都不为良共有3

5C 种不同的选法， ……………3分

则 35375()17C p A C =−=, 所以，事件A 发生的概率为57

.

……………………………………………4分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. …………………………………5分

34337

()k k C C P X k C −⋅== (0,1,2,3)k =， …………………………………9分 所以，随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯

+⨯+⨯+⨯=.………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）2

()cos 2cos f x x x x =+

2cos 21x x =++ ………………………………2分

2sin(2)16x π=++

……………………………………4分 所以()f x 的最小正周期22

T ππ==. ……………………………6分 （Ⅱ）因为()2sin(2)+16f x x π=+在区间,66ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上是减函数， ……………………8分 又()36f π

=，()23f π=，()06

f π−= , ……………………11分 故函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤−

⎢⎥⎣

⎦上的最大值为3，最小值为0. ……………12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为1()21

a a e f a e +==−，即：3a e =， ……………………………2分 所以ln 3a =. ………………………………3分 （Ⅱ）函数()f x 为奇函数. ………………………………4分

令10x e −≠，解得0x ≠，

∴函数()f x 的定义域关于原点对称， ………………………………5分

又Q +1()1

x x e f x e −−−=− 11x

x e e

+=−， ………………………………6分 +1()()1

x x e f x e =−=−− 所以，()f x 为奇函数. …………………………………7分

（Ⅲ）由题意可知，2

()x g x e kx =−， ……………………………………8分 函数()g x 在(0,)+∞上没有零点等价于方程2x

e k x

=在(0,)+∞上无实数解， ……9分 设2()(0)x e h x x x =>，则3

(2)()(0)x e x h x x x −'=>， ……………………10分 ∴()h x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，

∴()h x 在2x =上取得极小值，也是最小值， ……………………………11分 ∴2

()(2)4

e h x h ≥=， ∴k 的取值范围为2

(,)4

e −∞. …………………………………12分 19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：Q cos A =

(0,)A π∈，∴sin 3A =， ……………………2分 又Q 2B A =，

∴sin sin 22sin cos 3

B A A A ===， ………………………4分

由正弦定理sin sin a b A B

=,得sin sin 3a B b A ==，

∴b 的值为3

. ……………………………6分 （Ⅱ）由题意可知，21cos cos 22cos 13

B A A ==−=−， ……………………8分 ∴sin()sin cos cos sin 666B B B π

π

π

−=− , ………………………10分

16+=

. ………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当2a =时，1()2ln 2f x x x

=+， 1(1)2f =，221()2f x x x

'=−， ……………………………………1分 ∴3(1)2

f '=， ……………………………………2分 ∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1)22y x −

=− 即：3220x y −−=. ……………………………………………3分 （Ⅱ）2

21()2ax f x x −'=, Q ()f x 在区间[]1,2上是单调递增函数，

∴()0f x '≥在[]1,2x ∈上恒成立， …………………………………4分 ∴只需210410

a a −≥⎧⎨−≥⎩，解得12a ≥， …………………6分 所以，当12a ≥

时，()f x 在区间[]1,2上是单调递增函数.…………………7分 （Ⅲ）221()2ax f x x

−'= ①当0a ≤时，()f x '＜0在[]1,x e ∈上恒成立，

∴()f x 在区间[]1,e 上是单调递减函数， ∴min 1()()2f x f e a e ==+

. ………………………………………8分 ②当102a e <≤时，12e a

≥， ()0f x '≤在[]1,x e ∈上恒成立，

∴()f x 在区间[]1,e 上是单调递减函数， ∴min 1()()2f x f e a e ==+

. ………………………………………9分