第五章 极限定理_极限定理1
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例1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯 的概率都是0.7，而假定开、关事件彼此独立，估计夜 晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
解：令ξ表示夜晚同时开着的灯的数目。
ξ
B(10000, 0.7)
7199 k =6801
Biblioteka Baidu
P(6800 < ξ < 7200) =
∑
k C10000 0.7 k 0.310000−k
9002 Eξ = 5500000, Dξ = 10000 × 12
8
P(5500000 − 20000 < ξ < 5500000 + 20000)
20000 ξ − 5500000 = P ≤ 100 × 900 100 × 900 12 12
= 2Φ 0 (0.77) − 1
5
例3 设ξ1，，ξ 48相互独立，都是 [ 0，上均匀分布。 ... 1] 1 48 记ξ＝ ∑ ξi , 求P(ξ<0.4) 48 i＝1 1 1 解法一：Eξi = , Dξi = 2 12
记ξ＝∑ ξi ,Eξ = 24, Dξ = 4 ξ
i＝1
48
N(24, 22 )
1 因为ξ＝ ξ 48 1 P(ξ < 0.4) = P ξ < 0.4 = P(ξ < 19.2) 48 ξ − 24 19.2 − 24 = P < = Φ 0 (−2.4) 2 2 = 1 − Φ 0 (2.4) =0.008158
例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两， 标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量 超过10.2斤的概率。
解：设第i个螺丝钉重量为ξi，一盒重量为ξ＝∑ ξi
ξ1,...,ξ100相互独立，Eξi = 0.1, Dξi＝0.12
i＝1 100
Eξ = ∑ Eξi = 100(两)
7
例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客 的消费额(元)服从[100,1000]上的均匀分布，且顾客 的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销 售额上、下浮动不超过20000元的概率。 解：第i位顾客消费额位ξi，商场销售额为ξ
ξ＝ ∑ ξi
i＝1
10000
Eξi = 550
1 9002 Dξi = (1000 − 100) 2 = 12 12
例2 测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a 测量多次，结果的计算平均值未必等于a 测量次数很大时，算术平均值接近于a 这种现象为平均结果的稳定性 大量随机现象中的平均结果与每一个别随机 现象无关，几乎不再随机。
2
例3 设ξ n为两点分布 1 1 P ξ = = 1− n n
100次轰炸命中目标的次数ξ＝∑ ξi
i＝1
100
Eξ = ∑ Eξi＝200
i＝1
100
Dξ = ∑ Dξi＝169
i＝1
100
Dξ = 13
ξ N(200,132 ) | ξ − 200 | 20 P(180 ≤ ξ ≤ 220) = P ≤ 13 13 ＝2Φ 0 (1.54) − 1 ＝0.87644
≈ 0.56
9
例5 某单位有200台电话分机，每台大约有5％时间 使用外线。若各分机是否使用外线是相互独立的， 问总机至少要装多少条外线才能使打外线的接通率 达到90％？ 解：用ξ表示需使用外线的分机数，它服从二项分布。 n＝200, p = 0.05, np = 10, npq = 9.5 设要装k条外线。 ξ − 10 k − 10 k − 10 P(ξ ≤ k) = P ≤ = Φ0 ≥ 0.9 9.5 9.5 9.5 k − 10 故 ≥ 1.30 9.5
i =1
100
Dξ = ∑ Dξi = 1
i =1
100
ξ近似服从正态分布ξ
N(100,1)
ξ − 100 ξ − 100 P(ξ > 102) = P > 2 = 1− P ≤ 2 1 1 ≈ 1 − Φ 0 (2) =0.02275
4
例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命 中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2， 方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹 命中目标的概率。 解：第i次轰炸命中目标的次数为ξi
∴ k ≥ 14
至少要装14条外线
10
1 对任给ε>0,n充分大时，必有n+1>ε且 < ε n 1 = lim P ξ = lim P(| ξn − 0 |< ε) n →∞ n →∞ n 1 = lim 1 − =1 n →∞ n 即{ξn }依概率收敛于0
1 P(ξ = n + 1) = n
3
6
解法二： 正态分布的线性函数也是正态分布 1 48 Eξ = ∑ Eξi ＝ 1 ＝0.5 48 i＝1 2 1 48 Dξ = 2 ∑ Dξi ＝ 1 ＝ 1 48 i＝1 576 242 2 1 ∴ξ N 0.5, 24
ξ − 0.5 0.4 − 0.5 P(ξ < 0.4) = P < 1 1 24 24 = Φ 0 (−2.4) =0.008158
用切贝谢夫不等式估计：
Eξ = np ＝7000
Dξ = npq ＝2100
P(6800 < ξ < 7200) = P(| ξ − 7000 |< 200) 2100 ≈ 0.95 ≥ 1− 2002
1
5.1.2 大数定律
1 例1 掷一枚硬币，出现正面的概率为 2 1 掷的次数很多时，出现正面的频率接近 2 这种现象为频率的稳定性。
解：令ξ表示夜晚同时开着的灯的数目。
ξ
B(10000, 0.7)
7199 k =6801
Biblioteka Baidu
P(6800 < ξ < 7200) =
∑
k C10000 0.7 k 0.310000−k
9002 Eξ = 5500000, Dξ = 10000 × 12
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P(5500000 − 20000 < ξ < 5500000 + 20000)
20000 ξ − 5500000 = P ≤ 100 × 900 100 × 900 12 12
= 2Φ 0 (0.77) − 1
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例3 设ξ1，，ξ 48相互独立，都是 [ 0，上均匀分布。 ... 1] 1 48 记ξ＝ ∑ ξi , 求P(ξ<0.4) 48 i＝1 1 1 解法一：Eξi = , Dξi = 2 12
记ξ＝∑ ξi ,Eξ = 24, Dξ = 4 ξ
i＝1
48
N(24, 22 )
1 因为ξ＝ ξ 48 1 P(ξ < 0.4) = P ξ < 0.4 = P(ξ < 19.2) 48 ξ − 24 19.2 − 24 = P < = Φ 0 (−2.4) 2 2 = 1 − Φ 0 (2.4) =0.008158
例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两， 标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量 超过10.2斤的概率。
解：设第i个螺丝钉重量为ξi，一盒重量为ξ＝∑ ξi
ξ1,...,ξ100相互独立，Eξi = 0.1, Dξi＝0.12
i＝1 100
Eξ = ∑ Eξi = 100(两)
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例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客 的消费额(元)服从[100,1000]上的均匀分布，且顾客 的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销 售额上、下浮动不超过20000元的概率。 解：第i位顾客消费额位ξi，商场销售额为ξ
ξ＝ ∑ ξi
i＝1
10000
Eξi = 550
1 9002 Dξi = (1000 − 100) 2 = 12 12
例2 测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a 测量多次，结果的计算平均值未必等于a 测量次数很大时，算术平均值接近于a 这种现象为平均结果的稳定性 大量随机现象中的平均结果与每一个别随机 现象无关，几乎不再随机。
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例3 设ξ n为两点分布 1 1 P ξ = = 1− n n
100次轰炸命中目标的次数ξ＝∑ ξi
i＝1
100
Eξ = ∑ Eξi＝200
i＝1
100
Dξ = ∑ Dξi＝169
i＝1
100
Dξ = 13
ξ N(200,132 ) | ξ − 200 | 20 P(180 ≤ ξ ≤ 220) = P ≤ 13 13 ＝2Φ 0 (1.54) − 1 ＝0.87644
≈ 0.56
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例5 某单位有200台电话分机，每台大约有5％时间 使用外线。若各分机是否使用外线是相互独立的， 问总机至少要装多少条外线才能使打外线的接通率 达到90％？ 解：用ξ表示需使用外线的分机数，它服从二项分布。 n＝200, p = 0.05, np = 10, npq = 9.5 设要装k条外线。 ξ − 10 k − 10 k − 10 P(ξ ≤ k) = P ≤ = Φ0 ≥ 0.9 9.5 9.5 9.5 k − 10 故 ≥ 1.30 9.5
i =1
100
Dξ = ∑ Dξi = 1
i =1
100
ξ近似服从正态分布ξ
N(100,1)
ξ − 100 ξ − 100 P(ξ > 102) = P > 2 = 1− P ≤ 2 1 1 ≈ 1 − Φ 0 (2) =0.02275
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例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命 中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2， 方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹 命中目标的概率。 解：第i次轰炸命中目标的次数为ξi
∴ k ≥ 14
至少要装14条外线
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1 对任给ε>0,n充分大时，必有n+1>ε且 < ε n 1 = lim P ξ = lim P(| ξn − 0 |< ε) n →∞ n →∞ n 1 = lim 1 − =1 n →∞ n 即{ξn }依概率收敛于0
1 P(ξ = n + 1) = n
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解法二： 正态分布的线性函数也是正态分布 1 48 Eξ = ∑ Eξi ＝ 1 ＝0.5 48 i＝1 2 1 48 Dξ = 2 ∑ Dξi ＝ 1 ＝ 1 48 i＝1 576 242 2 1 ∴ξ N 0.5, 24
ξ − 0.5 0.4 − 0.5 P(ξ < 0.4) = P < 1 1 24 24 = Φ 0 (−2.4) =0.008158
用切贝谢夫不等式估计：
Eξ = np ＝7000
Dξ = npq ＝2100
P(6800 < ξ < 7200) = P(| ξ − 7000 |< 200) 2100 ≈ 0.95 ≥ 1− 2002
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5.1.2 大数定律
1 例1 掷一枚硬币，出现正面的概率为 2 1 掷的次数很多时，出现正面的频率接近 2 这种现象为频率的稳定性。