证券市场线的推导

第四章PPT81证券市场线的推导：

iM 曲线是证券i 与市场组合的可行集（p 是iM 上任意一组合），它必然与马氏可行集及资本市场线相切与M 点。因此，iM 可行集在M 点的切线斜率必然等于资本市场线的效率。由此，我们可以推导出证券市场线。

iM 可行集上的p 由下列方程描述：

()()(1)()p i i i m E r w E r w E r =+-

1222

2

(1)2(1)p i i

i m i i im w w w w σσσσ⎡⎤=+-+-⎣⎦

现求iM 在M 点的斜率：

()()()

p i m i

dE r E r E r dw =-

22212

22

22

2(1)2(1)p i i m i m

im i im i

i

i

i m

i i im d w w w dw w w w w σσσσσσσσσ-++-=

⎡⎤+-+-⎣⎦

所以：

[]1

22222

222

()()(1)2(1)()2i m i i i m i i im p p

i i m i m im i im

E r E r w w w w dE r d w w w σσσσσσσσσ⎡⎤-+-+-⎣⎦

=

-++-因为在M 点，Wi ＝0，而且p m σσ= 所以iM 可行集在M 点切线的斜率是：

[]2

()()()p i m m p

im m

dE r E r E r d σσσσ-=

-

又因为资本市场线在M 点的斜率为

()m f

m

E r r σ-

所以：

[]2()()i m m

im m

E r E r σσσ

--＝

()m f

m

E r r σ-

2

()()i f i m f im

i m

E r r E r r βσβσ⎡⎤-=-⎣⎦

=