第3章 图像处理中的正交变换

E(u, v) R (u, v) I (u, v)
2 2
F (u , v) 是幅度谱； (u, v) 是相位谱； E (u, v) 是 式中： 能量谱。
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第二章 数字图像处理基础
二、离散傅里叶变换
1. 一维离散傅里叶变换
如果x(n)为一数字序列，则其离散傅里叶正反变换： 1 X ( m) N
vy ux j 2 j 2 f x, y e N e M x 0 y 0
j 2 1 M 1 N 1 M N f x, y F u , v e MN u 0 v0 vy ux j 2 j 2 1 M 1 1 N 1 F u, v e N e M M u 0 N v 0
j 2 ( uxvy )
dudv
• 对图像信号而言，空间频率是指单位长度 内亮度作周期性变化的次数。
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第二章 数字图像处理基础
• 与一维傅里叶变换类似，二维傅里叶变换的幅度 谱和相位谱如下式：
F (u, v)
R 2 (u, v) I 2 (u, v)
I (u , v ) (u , v) arctg R(u , v )
F (u, v) f ( x, y )au ,v ( x, y )
x 0 y 0 * f ( x, y ) F (u , v)au , v ( x, y ) u 0 v 0 N 1 N 1 N 1 N 1
0 u, v N 0 x, y N
正变换核


F (u )
f ( x) F (u ) exp[ j2 πux]du

j 1,
u—频率变量
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第二章 数字图像处理基础
f ( x)满足只有有限个间断点、有限个极值和 绝对可积的条件，并且F (u )也是可积的 复数形式 指数形式 F (u ) R (u ) jI (u ) F (u ) ＝ F (u ) e j ( u )
(u , v) arctan
I (u , v) R (u , v)
F (u , v) [ R 2 (u , v) I 2 (u , v)]1/ 2
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第二章 数字图像处理基础
• 在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常 情况下总是M=N。因此，二维离散傅里叶变换多 表示为：
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A A AA I
T T
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第二章 数字图像处理基础
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = Af
若要恢复f，则:
f A gA g
T
1
以上过程称为正交变换。 我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正 交矩阵。
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第二章 数字图像处理基础
二维正交变换 • N×N二维函数可以类似于一维
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第二章 数字图像处理基础
• 图像离散傅里叶变换的具体计算过程为：
对图像f(x,y)的每一行进行一维傅里叶变换后得到N个值， 将其排在同一行位置，再对由逐行变换获得的矩阵的每一 列进行傅里叶变换。 图像数据在计算机中存放的格式为按行存放，一维傅里叶 变换执行后，得到N个值按行放回。在执行第二个一维傅里 叶变换时，需要按列进行，取数速度减慢。因此，在执行 行变换后要进行图像数据的转置，大矩阵的快速转置算法 是二维图像FFT的一个关键。目前，已经出现用芯片进行图 像FFT，使得运算具有更高速度。
其中
N 1 f ( x) a n u n ( x) n 0
意思是：任意一个能量有限的信号f(t)总可以用有限级数来 逼近它。对于给定的误差，总可以找到一个N值，使这种逼 近的精确度满足要求。
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第二章 数字图像处理基础
• 常用的完备正交函数集：
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第二章 数字图像处理基础 离散情况 • n个正交向量
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第二章 数字图像处理基础
（2）若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为： 意味着f(x)可以由无
f ( x) anun ( x)
n 0
穷级数来表示
对任意小的ε＞0，存在充分大的N， t 0 T 2 f ( x) f ( x) dx
t0
2 2 F (u ) ＝ R ( u ) ＋ I (u ) 1 2
幅值函数（傅里叶谱） 相角
I (u ) (u ) arctan R ( u )
2 2 能量谱或能量谱： R ( u ) ＋ I (u )
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第二章 数字图像处理基础
• 一维（连续）傅里叶变换
第二章 数字图像处理基础
三、 二维离散傅里叶变换的性质 • 基本性质：
1.线性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v
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第二章 数字图像处理基础
正交函数集合的完备性
• 一组完备的正交函数必然是一组闭合函数，必 须满足两个条件。
（1）不存在这样一个函数x(t ) ，它满足 0 x 2 (t )dt 而且满足
T
x(t )u (t )dt 0
n
T
意思是：再也没有不属于{un(t)}的某个非零的函数x（t）， 它与{un(t)}的每一个函数正交，即所有互相正交的函数都包括 在{un(t)}里面了。
C 0
i j i j
当C=1时，称归一化正交。即每一个相量为单位相
量。
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第二章 数字图像处理基础 满足上式的基相量组成矩阵：
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
则一定满足：
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第二章 数字图像处理基础
原图
fft2法为直接用二维离散 傅里叶变换实现； fft法为先进行沿x方向再 进行沿y方向进行傅 里叶变换实现。
用 fft2实 现 二 维 离 散 傅 里 叶 变 换 用 fft 实 现 二 维 离 散 傅 里 叶 变 换
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第二章 数字图像处理基础 3. 平移性：
u x v y j 2 0 0 N M
f ( x, y) F (u, v)e[ j2π (ux / M vy / N )]
u 0 v 0
M 1 N 1
变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方 向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅 谱分别表示为： F (u, v) F (u, v) e j (u ,v ) R(u, v) jI (u, v)
即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。
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第二章 数字图像处理基础
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第二章 数字图像处理基础
一、连续傅里叶变换
1. 一维（连续）傅里叶变换 傅里叶变换是一种数学变换（正交变 换），可以把一维信号（或函数）分解成 不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信 号（或函数）。 输入信号 => 傅里叶变换 => 频率域信号 频率域信号 => 傅里叶反变换 => 输出信号
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第二章 数字图像处理基础
正交变换？
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第二章Baidu Nhomakorabea数字图像处理基础
连续函数集合的正交性 一组实值的连续函数集合：
U {u0 (t ),u1 (t ),}
在[t0,t0+T]区间内满足：
t 0 T
C u ( t ) u ( t ) d t m n 0 t0
mn mn
{unt}在该区间内是正交的。当C=1时，称集合为 归一化正交函数集合
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第二章 数字图像处理基础
条件：如果实变量函数f ( x)是连续可积的，即



f ( x) dx , 且F u 是可积的，则傅里叶变换对一定存在。

一维傅里叶变换对表示为： F f ( x) F (u ) F
1
f ( x) exp[ j2 πux]dx
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第二章 数字图像处理基础
什么是图像变换?
• 图像变换是将图像从空间域变换到其它域（如频域）的数学 变换。
• 简单的图像变换通常就是一种二维的正交变换，但要求这种
正交变换必须是可逆的，并且正变换和反变换的算法不能太 复杂。 • 常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换和哈 达玛变换、霍特林变换、小波变换等等。
f ( x)
A
0
X
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第二章 数字图像处理基础
二维傅里叶变换
• 二维函数f(x,y)的傅里叶变化如何？
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第二章 数字图像处理基础
F (u, v) f ( x, y)e

j 2 ( uxvy )
dxdy
f ( x, y) F (u, v)e

N 1 m 0
x(n)e
n 0 j
N 1
j
2πmn N
其中m 0,1, 其中n 0,1,
N 1
x(n) X (m)e
2 πmn N
N 1
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第二章 数字图像处理基础
2. 二维离散傅里叶变换
1 F (u, v) MN
M 1 N 1 x 0 y 0 [-j2π ( ux / M vy / N )] f ( x , y )e
ux vy
F x, v e
x 0
M 1
j 2
ux M
1 M
M 1 u 0
F u, y e
j 2
ux M
其中：
vy N 1 j 2 N ~ y方向的DFT F x, v f x , y e y 0 ux M 1 F u, v F x, v e j 2 M ~ x方向的DFT x 0 vy j 2 1 N 1 N ~ y方向的IDFT F u, y F u, v e N v 0 ux M 1 j 2 f x, y 1 F u , y e M ~ x方向的IDFT M u 0
f
当
u0
x, y e
F u u0 , v v0
M N , v0 2 2
e
j 2 (u0 x / M v0 y / N )
x y
e
j ( x y )
(1)
x y
f x, y 1
M N F u ,v 2 2
第二章 数字图像处理基础
第3章 图像处理中的正交变换
3.1 3.2 3.3 3.4 傅里叶变换 离散余弦变换 卡洛变换 小波变换
1
第二章 数字图像处理基础
数字图像处理的方法主要分为两大类： 一个是空间域处理法(或称空域法)，
一个是频域法(或称变换域法)。
在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。 频率通常是指某个一维物理量随时/空间变化快慢程 度的度量。
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第二章 数字图像处理基础
f g
DFT(f)+DFT(g)
DFT(f+g)
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第二章 数字图像处理基础
2.可分离性
二维DFT可视为由沿x,y方向的两个一维DFT所构成。
F u, v f x, y e
x 0 y 0
M 1 N 1
M 1 N 1
ux vy j 2 M N
a11 a12 a1n a a a a1 21 , a 2 22 , , a n 2 n a a n1 n2 a nn
a
k 1
n
ki
a kj
反变换核
显然，这两个变换核应该满足正交性和完 备性。
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第二章 数字图像处理基础
3.1 傅里叶变换
• 傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通）， 然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤 波。
• 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 • 高通滤波：在频率域中抑制低频信号