第二型曲线积分

Review
n
1. 定义
f (x, y)ds
L
lim
0
k 1
f
(k ,k )sk
n
2. 性质
f (x, y, z)ds
lim
0 k1
f
(k ,k , k )sk
(1) f ( x, y, z) g( x, y, z) ds L f ( x, y, z)ds L g( x, y, z)ds ( , 为常数)
3) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
F
dr
F
dr
F
dr.
L
L1
L2
4) L是与L方向相反的有向曲线弧 , 则
F
dr
F
dr
L
L
积分路径相反，则第二型曲线积分变号。
当封闭曲线的方向确定 后，该封闭曲线上第
二型曲线积分的值与起 点的位置无关，记作：
F
dr
L
规定：当 L 为封闭曲线时，规定 L 的
(2) f ( x, y, z)ds f ( x, y, z)ds f ( x, y, z)ds
1
2
(3) ds l ( l 曲线弧 的长度)
( 由1,2 组成)
3. 计算
• 对光滑曲线弧 L : x (t) , y (t) , ( t ) ,
f ( x, y)ds f [ (t ), (t )]
对向量场 F ( x, y, z) {P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)}
定义第二型曲线积分：
F
dr
Pdx
Qdy
Rdz
2 性质
1)
kF
dr
k
F
dr
AB
AB
2)
[F(x, y) Q(x,
y)] dr
F
dr
Q
dr
AB
AB
AB
其物理意义可解释为：合力做的功等于每个分 力所作的功之和或差。
L
2(t ) 2(t )d t
• 对光滑曲线弧 L : y ( x) ( a x b ) ,
b
f ( x, y)ds f ( x, ( x)) 1 2( x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧 L : r r( ) ( ),
L f ( x, y)ds
f (r( )cos , r( )sin )
y)
dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
坐标形式
物理意义：
变力
F(
x,
y)
沿曲线
L
从
A
到对质点所作的功。
定理： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧 L上连 续时, 第二类曲线积分存在 .
第二型曲线积分与曲线的方向有关。
三维空间的第二型曲线积分：
y )d x
lim
0
i 1
P [
( i
),
( i
)]
( i)ti
因为L 为光滑弧 , 所以(t)连续
n
lim
0
i 1
P [
(
i
),
(
i
)]
(
i
)ti
P[ (tபைடு நூலகம், (t)] (t)dt
同理可证
LQ( x, y)d y
Q[ (t), (t)] (t)d t
特殊情形
(1) L : y y( x) x起点为a，终点为b.
则
b
Pdx Qdy {P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx.
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
0
[P(i ,i )
i 1
xi
Q(i ,i
)
yi
].
精确值
1 概念
定义 设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有
向光滑曲线弧 ,
函数
F
{P( x, y),
Q( x,
y)}在
L上有界. 将 L任意分割成n个有向小弧段
M i 1 M i
(i
1,2,
,
n,
M
i
1
M
i的长记为
si
.
M i 1 M i
r 2( ) r2( ) d
Fri. Apr. 28 §2 第二型曲线积分
❖ 第二型曲线积分的概念与性质 ❖ 第二型曲线积分的计算 ❖ 两类曲线积分的关系
一 第二型曲线积分的概念与性质
y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
L : A B, F ( x, y) {P( x, y),Q( x, y)}
点(i ,i
),做r数i , i量积1,2F,(,i
n, 任取M
,i ) ri
i
1
M
i
上一
求和，得
n
F (i ,i )
i 1
则有限和的极限值为
ri，令 m1iaxn {si
F(
x,
y)
沿曲线
L
从
} 0， A到 B的
第二型曲线积分，记作
lim
0
n i 1
F (i
,i
)
ri
F(
x,
Myii Mn1
L Mi1xi M2
A M1
常力所作的功
W F AB.
o
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ), , M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
Mi1Mi (xi )i (yi ) j .
取
F (i
,i
)
P(i
,i
)i
Q(i
,i
)
y j,
F (i ,i )
B
M i Mn1
Wi F (i ,i ) Mi1Mi ,
L yi
Mi1 xi
M2
A M1
即 Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi .o
x
求和
W
n
Wi
n
F (
i
,i
)
ri
近似值
i 1
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
正向为：当沿封闭曲线 行走时，
如果闭曲线所围成的区 域总在
人的左侧，则人前进的 方向为
正向。
二 第二型曲线积分的计算
定理 设P( x, y), Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为
x y
( t ), ( t ),
当参数t单调地由变
到时,点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具有 一阶连
续导数,且 2 (t) 2 (t) 0,则曲线积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
且L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
证明: 下面先证
L
P(
x,
y)dx
P [
(t ),
(t
)]
(t )dt
n
根据定义
P( x,
L
y )d x
lim
0
i 1
P(i
, i ) xi
设分点 xi 对应参数 ti , 点(i , i ) 对应参数 i , 由于
xi xi xi1 (ti ) (ti1 ) ( i)ti
n
L
P( x,