离散数学]PPT课件

§9集合的划分和覆盖 §10等价关系与等价类 §11相容关系 §12序关系
§1集合的概念和表示法
1、集合与元素 （1）集合：就是把人们直观的或想象中的某些确定的 能够区分的对象汇合在一起组成的一个整体。
讨论：
①一些不同的确定的对象之全体。
例： 1000以内的素数的集合； 这个班里高个子学生的集合；（不是集合）
(A=B)
§1集合的概念和表示法
《推论》对于任一集合A，则有A A。 《定理》设A、B、C是任意集合，如果AB和BC，则
AC 。 《推论》若AB和BC，则AC 。 《定理》设有空集和任一集合A，则A 证明：设xA，要证明A，只要证：x(x→ xA)
为“T” ∵中没有元素， ∴x为假，x（x→ xA）为“T”
集合论
由于集合论的语言适合于描述和研究离散对象 及其关系，所以也是计算机科学与工程的理论基
础，在程序设计、关系数据库、排队论、开关理 论，形式语言和自动机理论等学科领域中都有 重要的应用。
本篇主要介绍：集合、二元关系和函数， 以及集合的基数问题。
集合论
第三章 集合与关系
§1集合的概念和表示法 §2集合的运算 §4序偶与笛卡尔积 §5关系及其表示 §6关系的性质 §7复合关系和逆关系 §8关系的闭包运算
《定理》 是唯一的。
§1集合的概念和表示法
证明：设有二个空集合1和2 ∵是任何集合的子集 ∴（1 2∧2 1） (1=2)
3、幂集和索引集合 （1）幂集： 例：给定S1={a} 则子集为，{a}
S2={1，{2}} 则子集为，{1}，{{2}}， {1，{2}}
S3= 则子集有（而不是{}）
§1集合的概念和表示法
§1集合的概念和表示法
注意：区分“”和“”的关系： “”关系是指集合和该集合中元素之间的关系。
例：S={a,{b},c} 则a S，{b}S，c S 而“”关系是指二个集合之间的关系。
例：S1={a, b} S2={a,b,1,2} 则S1 S2 若A不包含于B，则也可表示成AB 《定理》设E是全集，A是一个集合，则一定有
的元素（成员），则A和B才是相等的，记作A=B 并规定：（A=B）x (x A ↔ x B)
例：{a, b, c}={b, a, a, c, c}
§1集合的概念和表示法
例：{a,b,c}={b,c,a}
例：设P={{1,2},4}，Q={1,2,4}，则PQ
《定义》设A、B是任意二个集合，如果集合A的每一个 元素都是B的一个元素，则称A 是B的子集，或者说A 包含于B，或者说B包含A，记作AB，或者BA。 并规定：ABBAx(x A → x B)
§1集合的概念和表示法
例：A1={1,2,3} A2={0} A3={1,2,3,0} B={1,2,3,0} 则A1、A2、A3均为B的子集合，并记为 A1B，A2B，A3B
《定义》设A、B是任意二个集合，若AB且A≠B，则称 A是B的真子集，记作AB（A真包含于B） 并规定：AB（AB ∧ A≠B）
无限集合：集合的基数（元素）是无限的。
§1集合的概念和表示法
⑦本书中常用集合符:
Im(m≥1) 有限个正整数的集合{1,2,3……m} Nm(m≥0) 有限个自然数的集合{0,1,2……m}
以上是有限集合,下面是无限集合：
N
自然数集合 {0,1,2……}
I+
正整数集合 {1,2,3……}
I
整数集合 {……-1,0,1,2……}
P 自己整除}
素数集合 {大于1的正整数，只能被1和
Q
有理数集合 {i/j. i、j均为整数且j≠0}
R
实数集合 {有理数、无理数}
C
复数集合 {a+bi，a、b可为实数}
§1集合的概念和表示法
(2)集合的表示方法: (a)枚举法 (列举法)
把集合的元素列于花括号内。 例： 命题的真假值组成的集合：S={T,F} 自然数0,1,2,3,4五个元素的集合：P={0,1,2,3,4} (b)谓词公式描述法 所有集合均可用谓词公式来表示：S={x | p(x) }
(c)同一集合可以用多种不同的形式表示。 (d)集合也可作为某一集合的元素。
例：S={a,{1,2},p,{q}}
§1集合的概念和表示法
(3)Fra Baidu bibliotek个特殊集合：空集、全集合、集合族 《定义》如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，
则称该集合为全集合，简称全集，用E表示。 E={x | p(x) ∨ p(x)} p(x)为任何谓词公式
§1集合的概念和表示法
例：大于10的整数的集合：S1={x | x I ∧ x>10} 偶整数集合：S2={x | y (y I ∧ x=2y)} 有限个元素集合： S3={1,2,3,4,5}={x | x I ∧ (1 ≤ x ≤ 5) } S4={F,T}={x | x=T ∨ x=F} S5={1,4}={ x | (x²-5x+4=0) }
《定义》不拥有任何元素的集合称为空集（或称零集）， 用表示 ={x | p(x) ∧ p(x) }={ }
注意： ≠ {} 前者是空集，是没有元素的集合；后 者是以作为元素的集合。
§1集合的概念和表示法
《定义》集合中的元素均为集合，称这样的集合为集合 族。 例A={{a}，{b}，{c、d}}
2、集合之间的关系 《公理》给定二个集合A和B，当且仅当A和B具有同样
《定义》 设A是集合，A的所有子集（作为元素）的集合 称为A的幂集。
AE。
§1集合的概念和表示法
《定理》设A、B是任意二个集合，当且仅当A B和B A才有A=B。
证明： (ⅰ)充分性：（A=B）（A B ∧B A）
(A=B)x (x A→ xB∧xB→ xA) x(xA→ xB)∧x(xB→ xA) (AB)∧(BA)
(ⅱ)必要性：AB∧BAA=B (AB)∧(BA)x(xA→ xB)∧x(xB→ xA)
②元素（成员）：组成集合的各个对象。
③符号：用大写英文字母表示集合，用小写英文字母或 其它符号表示元素。
集合：A，B….
元素：a，b….
§1集合的概念和表示法
④元素与集合间的关系： 若a是集合S中的元素，则 可写成a S ；若b不是集S合中的元素，则可 写成b S 。
⑤集合S的基数(势)：S中的元素个数。用|S|表示。 ⑥有限集合：集合的基数（元素）是有限的。