专题检测(二)

专题检测（二）

[时间120分钟，满分150分]

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．点A(sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析注意到2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，

因此2 011°角的终边在第三象限，

sin 2 011°＜0，cos 2 011°＜0，

所以点A位于第三象限，选C.

答案C

2．计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为

A．－

2

2

B.

2

2

C.

3

2

D．1

解析原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°

＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝

2 2 .

答案B

3．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝A．－12 B．－6

C．6 D．12

解析由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b

＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，

∴k＝12.

答案D

4．(2012·吉林模拟)将函数y＝cos 2x的图象向右平移π

4

个单位，得到函数y＝f(x)·sin x

的图象，则f(x)的表达式可以是

A．f(x)＝－2cos x B．f(x)＝2cos x

C．f(x)＝

2

2

sin 2x D．f(x)＝

2

2

(sin 2x＋cos 2x)

解析将函数y＝cos 2x的图象向右平移π

4

个单位，可得y＝cos 2

?

?

?

?

?

x－

π

4

＝cos

?

?

?

?

?

2x－

π

2

＝

sin 2x

＝2sin x cos x，∴f(x)＝2cos x.

答案B

5．函数y ＝1－2sin 2? ?

???x －π4是

A ．最小正周期为π的偶函数

B ．最小正周期为π的奇函数

C ．最小正周期为π

2

的偶函数 D ．最小正周期为

π

2

的奇函数 解析 y ＝1－2sin 2? ????x －π4＝cos ? ?

???2x －π2＝sin 2x ，所以T ＝π，且y ＝sin 2x 为奇函数，

故选B.

答案 B

6．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝c ＝6＋2且A ＝75°，则b ＝ A ．2

B ．4＋23

C ．4－2 3

D.6－2

解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋sin 45°cos 30°＝2＋6

4

， 由a ＝c ＝6＋2，可知C ＝75°，所以B ＝30°，sin B ＝1

2

.

由正弦定理，得b ＝a sin A ·sin B ＝2＋62＋64×1

2

＝2，故选A.

答案 A

7．(2012·贵阳模拟)在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，

若P 为CD 的中点，则PA →·PB →的值为

A ．－5

B ．－4

C ．4

D ．5

解析 如图所示，CE ⊥AD 于E ，则EC ＝AB ＝4，DE ＝2，CD ＝25，

∴cos ∠ADC ＝

5

5， ∴PA →·PB →＝(PD →＋DA →)(PC →＋CB →

) ＝? ????－12DC →＋DA →? ????12

DC →＋12DA →

＝12|DA →|2－14|DC →|2＋14|DC →||DA →

|cos ∠ADC ＝8－5＋14×25×4×5

5＝5.

答案 D

8．(2012·济南模拟)函数y ＝cos ?

?

???x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移

π

6

个单位，所得函数图象的一条对称轴是 A ．x ＝π

9

B ．x ＝

π8 C ．x ＝π D ．x ＝

π2

解析 据题意，所得的函数为y ＝cos ? ????1

2x －π4，

令12x －π4＝k π，得x ＝2k π＋π

2(k ∈Z )， 令k ＝0，得x ＝π2.

答案 D

9．(2012·课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π4在? ????

π2，π上单调递减，则ω

的取值范围是

A.??????

12，54

B.????

??

12，34 C.? ??

??0，12 D ．(0,2]

解析 结合特殊值，求解三角函数的减区间，并验证结果．

取ω＝54，f (x )＝sin ? ????54x ＋π4，其减区间为????

??

85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，

显然? ????π2，π???????85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ? ?

???2x ＋π4，其

减区间为??????k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然? ????π2，π??

??

???k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.

答案 A

10．使f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y )为奇函数，且在?

??

???0，π4上是减函数的y 的一个值

是

A.π3

B.5π3

C.

4π

3

D.

2π

3

解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y ) ＝2sin ? ?

???2x ＋y ＋π3为奇函数，

∴f (0)＝0，∴sin y ＋3cos y ＝0， ∴tan y ＝－3，

又函数f (x )在???

???0，π4上是减函数，

故只有D 选项满足．故选D. 答案 D

11．已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →·OB →＝0，OC →＝λOA →＋μOB →

(λ，μ∈R )，若M 为AB 的中点，并且|MC →|＝1，则点(λ，μ)在

A ．以? ??

??

－12，12为圆心，半径为1的圆上

B ．以? ????1

2，－12为圆心，半径为1的圆上

C ．以? ????－1

2

，－12为圆心，半径为1的圆上

D ．以? ??

??

12，12为圆心，半径为1的圆上

解析 由于M 是AB 的中点，∴△AOM 中，OM →

＝12

(OA →＋OB →)，

∴|MC →|＝|OC →－OM →|＝??????? ????λ－12OA →＋? ????μ－12OB →＝1. ∴??????? ????λ－12OA →＋? ?

???μ－12OB →2＝1，

? ?

???λ－122＋? ????μ－122＝1，故选D.

答案 D

12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78

，则△ABC 的面积等于

A.17

B.15

C.15

2

D ．3

解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0.

∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7

8，

解得c ＝2，b ＝4.

∴S △ABC ＝12bc sin A ＝1

2×4×2×

1－? ??

??782

＝152.

答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)

13．已知向量a＝(4,2)，b＝(1,1)，则向量a－b与向量a＋b的夹角的余弦值是________．解析因为向量a＝(4,2)，b＝(1,1)，所以向量a－b＝(3,1)，a＋b＝(5,3)，

所以|a－b|＝10，|a＋b|＝34，(a－b)·(a＋b)＝15＋3＝18，

所以cos〈a－b，a＋b〉＝a－b·a＋b

|a－b||a＋b|

＝

18

10·34

＝

985

85

.

答案985 85

14．已知sin α＋3cos α

3cos α－sin α

＝5，则sin2α－sin αcos α的值是________．

解析依题意得tan α＋3

3－tan α

＝5，tan α＝2，

sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α

＝tan2α－tan α

tan2α＋1

＝

22－2

22＋1

＝

2

5

.

答案2 5

15．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos A

2

＝

25

5

，AB→·AC→＝3，

则△ABC的面积为________．

解析依题意得cos A＝2cos2A

2

－1＝

3

5

，

sin A＝1－cos2A＝4 5，

AB→·AC→＝AB·AC·cos A＝3，

AB·AC＝5，△ABC的面积等于

1

2

AB·AC·sin A＝2.

答案2

16．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是________米．

解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，

∠BCD＝15°＋90°＝105°，

∠DBC＝30°，

BC

sin 45°

＝

CD

sin 30°

，

BC＝CD sin 45°

sin 30°

＝102，

在Rt △ABC 中，tan 60°＝

AB

AC

，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 答案 106

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ? ??

??

3π8的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．

解析 由题意知f (x )＝

1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝

22? ????22sin 2x ＋2

2cos 2x ＋12

＝22sin ?

?

???2x ＋π4＋12.

(1)f ?

????

3π8＝22

sin π＋12＝12. (2)令2k π－

π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤2x ≤2k π＋π

4

(k ∈Z )， 即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为???

???k π－3π8，k π＋3π8(k ∈Z )．

18．(12分)如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0＜θ＜π)，平行四边形OAQP 的面积为S .

(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0

； (2)设点B 的坐标为? ??

??

－35，45，∠AOB ＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．

解析 (1)由已知得点A 、P 的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)，∴OQ →＝(1＋cos θ，sin

θ)，OA →·OQ →＝1＋cos θ.

又∵S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ? ????θ＋π4＋1(0＜θ＜π)，

故OA →·OQ →＋S 的最大值是2＋1，此时θ0＝π

4.

(2)∵cos α＝－35，sin α＝4

5

，

∴cos(θ0＋α)＝cos θ0cos α－sin θ0sin α＝－

72

10

. 19．(12分)(2012·房山模拟)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，tan

A ＋tan

B ＝3－3tan A tan B ，a ＝2，c ＝19.

(1)求tan(A ＋B )的值； (2)求△ABC 的面积．

解析 (1)∵tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B ＝3(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B

1－tan A tan B ＝ 3.

(2)由(1)知A ＋B ＝60°，∴C ＝120°. ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .

∴19＝4＋b 2

－2×2×b ? ??

??

－12，∴b ＝3.

∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33

2

.

20．(12分)(2012·九江模拟)已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．

(1)若α－β＝π6

且λ＝1求向量OA →与OB

→的夹角；

(2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围． 解析 (1)当λ＝1时，向量OA →与OB

→的夹角π3. (2)|AB →|≥2|OB →|对任意的α，β恒成立，

即(λcos α＋sin β)2＋(λsin α－cos β)2≥4对任意的α，β恒成立， 即λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，

所以???

λ＞0λ2

－2λ＋1≥4

或???

λ＜0λ2

＋2λ＋1≥4

解得λ≥3或λ≤－3，

所求的实数的取值范围是λ≥3或λ≤－3.

21．(12分)如图，为了计算江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取

A 和D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10 km ，A

B ＝14 km ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与

C 之间的距离．(假设A ，B ，C ，

D 在同一平面内，测量结果保留整数，参考数据：2≈1.414)

解析 在△ABD 中，设BD ＝x ，根据余弦定理得，BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2×10x ×cos 60°.

整理得x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．

在△BCD 中，由正弦定理得

BC sin ∠CDB

＝

BD

sin ∠BCD

，

故BC ＝16

sin 135°

·sin 30°＝82≈11.

答：两景点B 与C 之间的距离约为11 km.

22．(14分)(2012·衡水模拟)已知函数f (x )＝3cos 2x ＋2sin x ·sin ? ?

???x ＋π2.

(1)求f (x )的最小正周期，最大值以及取得最大值时x 的集合；

(2)若A 是锐角三角形△ABC 的内角，f (A )＝0，b ＝5，a ＝7，求△ABC 的面积． 解析 (1)f (x )＝3cos 2x ＋2sin x ·sin ? ?

???x ＋π2＝3cos 2x ＋2sin x ·cos x

＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ?

?

???2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期是π.令2x ＋

π3＝π2＋2k π，k ∈Z .解得：x ＝π

12

＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时x 的集合是????

??

x ???

x ＝π

12＋k π，k ∈Z

. (2)∵f (A )＝sin ?

?

???2A ＋π3＝0,0＜A ＜π2，∴A ＝π3，

在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，c 2－5c －24＝0，解得c ＝8或c ＝－3(舍)，

∴S △ABC ＝1

2

bc ·sin A ＝10 3.