第三讲 间接效用函数与支出函数(高级课件)

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• 即目标函数在最优解处的解也是与参数c有 关的函数，我们定义为 V (c) ，称之为最大 值函数。
• 更一般的，如果参数不仅出现在约束，而 且也出现在目标函数，我们有：
V () maxf (x,) g(x,) 0 f (x(),) x
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• 其中x x( )为参数为 时的选择变量的最优 解，或者称最优反应。因此，根据定义， 如果对一任意 x' ， 则有 f (x(),) f (x',) ， 等号当且仅当 x' x x( ) 时取得。因此， 最大值函数 V () f (x(),) 与函数 f (x, ) 是有 区别的，一般而言，V () f (x,)，当且仅当 x x( ) 时，V () f (x,) ，即 x为参数 的最优反应时 取得等号。我们用一简单的图示来说明这 一关系。
xi
g ( x(a), a) 0
由于这些条件用于定义解x(a)与 (a), 我们可将
它们写成恒等式。
L关于参数a 的偏导数将为： j
L f (x(a), a) (a) g ( x(a), a)
a j
a j
a j
如果我们在( x(a), (a))处给这个导数取值, 将有 :
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包络定理证明
首先, 构建最优化问题的拉格朗日函数,即有:
L f (x, a) [g (x, a)] 如果x(a)是方程的解，那么存在(a)满足详尽的一阶
库恩-塔克条件。 如果则有：
f ( x(a), a) (a) g ( x(a), a) 0......(1)
xi

f
(x(a), a) a j
返回一阶条件公式（1），将第一个式子移项得：
f (x(a), a) (a) g(x(a), a)
xi
xi
将此式代入求和项的方括中，并将v(a)的偏导数改写成：
v(a) (a)
n
－
g ( x(a),
a)
xi
(a)


f
(
x(a),
s.t. g(x, ) 0
• 其中选择变量x为n维向量，参数为m维向 量，包络定理为：
V L
j
a j x(a), (a)
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• 即参数 aj 对最大值函数（目标函数的最大 值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对 参数 aj 求偏导数，并在最优解 x 处取值。
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ICC
PCC
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三、间接效用函数的性质
• 1、在价格和财富上是连续的。 • 2、它对于价格和财富是零次齐次的，即价格
和财富的同比例变化并不影响效用水平。 • 3、在财富上是严格递增的。 • 4、而在价格上则是严格递减的。 • 5、满足罗伊恒等式。
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性质1说明和证明
Rn表示价格的定义域，下标＋＋是指严格为正， 没有一维价格为零，n表示n维价格。R表示收入的定义域， 收入可以为零。Rn R表示预算集的定义域。性质1说明 当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用函数也是 会有微量的变化的。理由是，如果效用u(x)是连续的，那么其极大 化了的值一定也是连续的。
L
f ( x(a), a) (a) g ( x(a), a) ....(2)
a j x ( a ), ( a )
a j
优质医学a j
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对最大值函数v(a)求关于a
的偏导数：
j
v(a)
a j

n i 1
f
(x(a), a)
xi

xi (a) a j
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性质2的证明
v(tp,ty) [max u(x),受约束于tpx ty]， 它显然等价于[max u(x), px y] 用t>0去除约束条件两边， 得到v(tp,ty) [max u(x),tpx ty] v( p, y)
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B0
B2
B1
x( p0 , w0 )
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• 最大值函数(Maximum Value Function)
• 最优规划问题max f (x), x x g(x) c 中， x 我们知道最优解是与参数有关的函数， 即 x x(c) ，因此在最优解处，目标函数的值 为： f (x) f (x(c)) V (c)
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,n
• 这个证明要用到包络定理
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包络定理(Envelope Theorem)
• 与比较静态分析相关的一个重要工具是包络定理。 比较静态分析的思想是在其它条件（参数）不变 得前提下，研究单个参数的变化对均衡解的影响， 以此来表达决策者的行为。而另一类重要的问题 是，我们常常要考虑此参数的变化对目标函数 （最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费 者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要 素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响， 都属此类情形。在进入正式的讨论之前，我们先 介绍一个概念：最大值函数
第一节 间接效用函数
• 一、间接效用函数的定义
• 直接效用函数：效用u(x) 是消费计划
•
x x1, x2,...xn 的函数。
• 若 v( p, y) u x( p, y) 成立，则 v( p, y) 就为间接效 用函数。
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二、使用间接效用函数的原因：
• 间接效用函数使用收入和价格两个变量 来描述的消费者的最优消费均衡。

x( p1, w1)


x R2 : u(x) v
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5、罗伊恒等关系
• 如果间接效用函数 v( p, w) 在点上 ( p, w)
是可导的且 v( p, w) 0 ，
• 一定存在
w
xBiblioteka Baidu
j
(
p,
w)


v( p, p j
w)
v( p, w) , j 1, 2, w
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• 包络定理：包络曲线 V (与) 曲线 f (x1,) 相切 于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代 数表达为： V f (x1,)
• 在 1 处取值。此等式即为包络定理。
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• 更加一般的，对于最优规划问题：
max f (x, ) x