线性移不变系统的因果性和稳定性

例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=-a n u(-n-1),讨论其 因果性和稳定性。
（）、因果性 n<0时，h(n) ≠ 0，故为非因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
h(n) =
n a = ∞
a >1 a ≤1
差分方程
线性常系数差分方程
N M
∑ a y (n k ) = ∑ b
∞
m =∞
满足比例性和可加性 满足移不变性
＝ ∑ x(m)h(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性 结论：
y ( n) = x ( n) * h( n)
x(n) LSI系 统 系 h(n) y(n)=x(n)*h(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 LSI系统性质
1、交换律
y ( n) = x ( n) * h( n) = h( n) * x ( n)
2、线性移不变系统的因果性和稳定性
1.3时域离散系统 时域离散系统的一般表达：
y (n) = T [ x(n)]
x(n) 离散时间系统 y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
线性系统：满足叠加原理的系统
1、可加性 若：y1 (n) = T [ x1 (n)]，y2(n)=T[x2(n)]
则：T [ x1 (n) + x2 (n)] = T [ x1 (n)] + T [ x2 (n)] = y1 (n) + y2 (n) 线性系统的一个特征：在全部时间为 2、比例性： 零输入时，其输出也恒等于零。即： 零输入产生零输出 T[x1 (n)]=y1 (n)
0 n≥0 或：h(n）=-a n u(-n-1) ∴ h( n) = n a n < 0 它是非因果系统。 a < 1，系统稳定。
差分方程
结论：一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统， 依据边界条件假设不同。 问题：一个常系数线性差分方程一定代表一个LSI系统吗？
例：常系数线性差分方程： y (n) = ay (n 1) + x(n) 边界条件：y (0) = 1。讨论它的移不变、线性问题。
则：T[ax1 (n)]=aT[x1 (n)]=ay1 (n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b(a、b为常数）所代表的系统 不是线性系统。
证：设T[x1(n)]=ax1(n)+b T[x2(n)]=ax2(n)+b
则：T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b
满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
=
x(n)
y(n) h(n)
=
h(n)
y(n) x(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 2、结合律
x(n) * h1 (n) * h2 (n) = [ x(n) * h1 (n)]* h2 (n)
= x(n) *[h1 (n) * h2 (n)] = [ x(n) * h2 (n)]* h1 (n)
y(n) h1(n)+h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 因果系统
某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的时刻的输 入的系统。
即：n=n 0的输出y (n)只取决于n ≤ n0的输入x(n) |n≤ n0
对于因果系统：若n<n 0，x1(n)=x2(n)，则n<n 0时，y1(n)=y2(n)
方法一： T[x(n)]=nx(n)=y(n)
T[x(n-m)]=nx(n-m)
而y(n-m)=(n-m)x(n-m)
显然：T[x(n-m)] ≠ y(n-m) 时变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
方法二：寻找一个反例 x1(n)=δ(n)→ y1(n)=nδ(n)=0
x 2 (n)=x1 (n-1)=δ(n-1) →
x1(n)
5 4 3 2 1 4 3 2 1
-4
0
4
n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y1(n)
5 3 1 3
1
-2
0
2 x2(n)=x1(n-2)
5 4 4 3 2
n
3 2 1
1
-2
0
4
6 n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y2(n)
5 3 1 3 1
-2
0
3
5
n
y1(n)
3 1 3 1
-2
0
2
n
差分方程
设x(n)=δ(n)，且y(-1)=h(-1)=0 有 y(n)=h(n)=0，n<0
h(0) = ah(1) + δ (0) = 1
依次迭代：
h(1)=ah(0)+δ(n)=ah(0)=a h(2)=ah(1)+δ(n)=aia=a 2
h(n)=ah(n-1)+δ(n)=a n +0=a n
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若： x(n) ≤ M < ∞
则： y(n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
n =∞
∑
∞
h( n) = P < ∞
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
线性移不变系统的因果性和稳定性 2、移不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统。 即：若输入x(n）产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出 y(n-m)。输入移动多少位，输出也移动相同的位数。
若： T[x(n)]=y(n），则有：
T [ x(n m)] = y (n m)
1 由方程得：y (n 1) = [ y (n) x(n)] a
h(n) = 0，n > 0 1 h(0) = [h(1) x(1)] = 0 a
差分方程
1 h(1) = [h(0) x(0)] = a 1 a 1 h(2) = [h(1) x(1)] = a 2 a
1 h(n) = h(n + 1) = a n a
探讨
y2 (n) = nδ (n 1) = δ (n 1)
该系统是有移变增量n的系统，若已知当前的输入是1，而不知 当前所在时刻，仍不能确定当前的输出是多少。
结论：系统有一个移变的增益，则系统一定是一个移变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性 深入讨论
例：考虑y(n)=x(2n)是否为移不变系统？
冲激函数序列：δ T (t ) =
m =∞
∑ δ (t mT )
∞ a
∞
T：抽样间隔
理想抽样输出：
xa (t ) = xa (t )iδ T (t ) =
m =∞ ∞
∑ x (t )δ (t mT )
= ∑ xa (mt )δ (t mT )
m =∞
模拟信号数字处理方法
设：X a(j)=FT[xa(t)]；T(j)=FT[δ T(t)]； Xa ( j) = FT [ x a (t )] 1 于是： a ( j) = X [T ( j) * X a ( j)] 2π 2π 2π ∞ T ( j) = ∑ δ ( k s) s = T ,即采样角频率 T k =∞ 1 2π ∞ ∴ X a ( j ) = [ ∑ δ ( k s) * X a ( j)] 2π T k =∞ 1 ∞ = ∑ X a ( j jk s ) T k =∞
（）、移不变问题 1
则：y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = a y1 (2)=ay1 (1)+x1 (2)=a 2
令x1 (n) = δ (n)，y1 (0) = 1
y1 (n)=ay1 (n-1)+x1 (n)=a n
差分方程
1 同样利用：y (n 1) = [ y (n) x] a 递推求得：y1 (n) = 0，n ≤ 1
差分方程
令x3 ( n) = x1 ( n) + x2 (n) = δ (n) + δ (n 1)；y3 (0) = 1
则有：y3 (n) = a nu (n) + a n 1u (n 1)
显然：y3 (n) ≠ y1 (n) + y2 (n)
结论：一个常系数线性差分方程并不一定对应一个LSI 系统，只有选择合适的边界条件才可能是LSI系统。
非因果系统
系统现在的输出还取决于未来的输入
线性移不变系统的因果性和稳定性
理解：
因果系统固然重要，但并不是所有有实际意义的系统 都是因果系统。
（1）、图像处理。变量不是时间，此时，因果性往往不是 根本性的限制。
（2）、非实时情况。待处理的数据事先记录下来。例如：
为了去除噪声的变化，保留总的缓慢的变化趋势，常作取平均。 1 N y(n)= ∑ x(n k ) 2N+1 k =∞
x(n) h1(n) h2(n) y(n)
x(n) h2(n) h1(n) y(n)
x(n) h1(n)*h2(n)
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 3、分配律
x(n) *[h1 (n) + h2 (n)] = x(n) * h1 (n) + x(n) * h2 (n)
x(n) y(n)
=
x(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=a n u(n),讨论其 因果性和稳定性。
（）、因果性 n<0时，h(n)=0，故为因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
1 h(n) = ∑ a n = 1 a n =0 ∞
∞
a <1 a ≥1
线性移不变系统的因果性和稳定性
差分方程
迭代法求解差分方程
差分方程在给定输入和给定边界（起始）条件下，可用迭代 的方法求系统的响应。如果输入是δ(n)这一特定情况，响应 就是单位抽样响应h(n)。如：利用δ (n)只在n = 0取值为1的特 点，可用迭代法求h(0)、h(1)、h(2) h(n)。
例：常系数线性差分方程： y(n)-ay(n-1)=x(n) 求h(n)。设初始状态为：y(-1)=0。
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统是因果系统的充分必要条件
h(n) = 0， n<0 引伸
更一般的，对于一个线性系统，它的因果性就等效于初始松弛 条件。 将n<0,x(n)=0的序列叫因果序列，表示这个因果序列可以作
为一个因果系统的单位抽样响应。
问题：
频率特性为理想矩形的低通滤波器是否为因果系统？
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统输入与输出的关系
单位抽样响应
x ( n) =
∞
h(n)=T[δ(n)]
设系统输入序列x(n）输出序列y(n) ,
∑ x(m)δ (n m) y (n) = T [ ∑ x( m)δ (n m)]
m =∞ ∞
=
m =∞
∑ x(m)T [δ (n m)]
∞ m=-∞
差分方程
差分方程与系统结构
例如：一个一阶差分方程：y (n) = b0 x(n) a1 y (n 1)
x(n) y(n)
b0
Z-1
-a1
模拟信号数字处理方法
xa (t )
（ a） 抽 样 器 原 理 ）
x a (t )
模拟信号数字处理方法
研究内容：信号被抽样后其频谱会有什么变化？在什么 条件下，可以从抽样数据信号中不失真地恢复出原来 的信号？ 理想抽样
∴ y1 (n) = a nu (n)
令x2 (n) = δ (n 1)，y2 (0) = 1
y2 (n) = a nu (n) + a n 1u (n 1) + a nu (n 1)
不是移不变的 （2）、线性性问题 x1(n)=δ(n) → y1(n)=a n u(n)
x2(n)=δ(n-1)→ y2(n)=a n u(n)+a n-1u(n-1)+a n u(-n-1)
k =0 k m=0
m
x ( n m)
阶差：为未知序列（指输出序列y(n)）变量序号的最高值 与最低值之差。
线性：各y(n-k)及各x(n-m)项都只有一次幂且不存在它们的 相乘项；否则时非线性的。
差分方程
线性常系数差分方程的求解
手工迭代 迭代法 序列域求解法 计算机软件（MATLAB） 经典解法 变换域求解法
=ax1(n)+ax2(n)+b=y(n)
显然： y(n) ≠ y1(n)+y2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
问题：为何系统的方程是一线性方程，而却不是 一线性系统？ y0(n)
x(n) 线性系统 ax(n) y(n)
线性系统部分： T[x(n)]=ax(n)
零输入响应[输入 x(n）＝0时的输出]是： y0(n)=b
a n ∴ h(n)= 0 n≥0 n<0
或h(n) = a nu (n)
差分方程
是一因果系统，若|a|<1，系统稳定。 问题：一个常系数线性差分方程一定是一个因果系统吗？
例：常系数线性差分方程： y(n)=ay(n-1)+x(n) 求h(n)。边界条件假设：y(0)=0。
解：可得n > 0时，y(n)=h(n)=0(设x(n)=δ(n)）