初三数学 动点问题探究—几何图形中的动点问题教案

教学过程

一、课堂导入

动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．

二、复习预习

1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。

2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

三、知识讲解

考点1 单点运动及双点运动问题

关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。

解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。

考点2 图形运动问题

图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。

这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。

对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。

考点3 线运动问题

解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化．

由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.

四、例题精析

考点一双点运动问题

例1如图14，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 12cm，动点P以1cm/s的速度从A出发沿边AB向点B 移动，动点Q以2cm/s的速度同时从点B出发沿BC向点C移动．

⑴△PBQ的面积S(cm2)与点P移动时间t (s)的函数关系式为______，其中t的取值范围为________；

⑵判断△PBQ能否与△ABC相似，若能，求出此时点P移动的时间，若不能，说明理由；

1？

⑶设M是AC的中点，连接MP、MQ，试探究点P移动的时间是多少时，△MPQ的面积为△ABC面积的

4

【规范解答】（1）,62t t S +-=0＜t ＜6

（2）由题意知 AP=t ，BQ=2t ，若△PBQ 与△ABC 相似，则 ①

BC BQ BA BP =，∴12

266t t =-，解得t=3 ②BA BQ BC BP =，∴6

2126t t =-，解得t=56 即当点P 移动3s 或56s 时，△PBQ 与△ABC 相似 （3）作MD ⊥AB 于D ，ME ⊥BC 于E

∴∠ADM=90°，又∠B=90°，∴∠ADM=∠B ，∴DM ∥BC ，∴MC AM

DB AD =

又∵M 是AC 的中点，∴1==MC AM

DM AD

，即D 是AB 的中点，∴621

==BC DM ，同理321

==BA EM

∵ABC MPQ S S ∆∆=

4

1，∴ABC MQC PBQ APM S S S S ∆∆∆∆=++43 ∴12621433)212(212)6(21621⨯⨯⨯=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯t t t t 即0962=+-t t ，321==t t ，

即点P 移动3s 时，ABC MPQ S S ∆∆=4

1 【总结与反思】（1）要求△PBQ 的面积，只需用含t 的代数式表示三角形的底和高即可得到。

（2）若△PBQ 与△ABC 相似，分两种情况讨论：①

BC BQ BA BP =，②BA

BQ BC BP =，分别用含t 的代数式表示各线段的长度后带入即可。

（3）用含t 的代数式表示△MPQ 的面积后，按照题意建立起含有t 的方程，便可以求出移动的时间了。

例2如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

【规范解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，

∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，

BC=8cm，∴=，∴t=1；

②当△BPQ∽△BCA时，

∵=，

∴=，

∴t=，∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似；

（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，

∴△ACQ∽△CMP，∴=，