第七章不可压缩流体动力学基础49页

v y vx x y
时流动无旋
需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是 否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。
流体力学
1.涡量场
wk.baidu.com
xi
y
j
zk
1 2
V
i jk
1 2 x y z
vx
vy vz
2 x i yj z k
u
涡量连续性方程的表示：
x y z 0 x y z
流体力学
2.涡管 涡束
在给定瞬时，在涡量场中任 取一不是涡线的封闭曲线， 通过封闭曲线上每一点作涡 线，这些涡线形成一个管状 表面，称为涡管。涡管中充 满着作旋转运动的流体，称 为涡束。
涡管
流体力学
3.涡通量
旋转角速度的值ω与垂直于角速 度方向的微元涡管横截面积dA的 乘积的两倍称为微元涡管的涡通 量(也称涡管强度)。
数学条件： 当 1V0
2 当 1V0
2
无旋流动 有旋流动
在笛卡儿坐标系中：
V v y z v z y i v z x v x z j v x y v y x k
流体力学
即当流场速度同时满足：
vz v y y z
vx vz z x
速度环量
流体力学
5.斯托克斯定理
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速 度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。
kvdsJ2 ndA
K
A
斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单 连通区域、空间曲面。
流体力学
6.汤姆孙（W. Thomson）定理：
正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体 质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。
(ρ ρ xδ 2)x(xVVxxδ 2)xδyδz
O点坐标： (xx/2,y,z)
O点密度：
(
x
x) 2
ZY X
C
G
D N
.
B
.M
H
.O
F
A
E
x方向速度分量：
Vx
Vx x
δx 2
通过以O点为中心流出微元体的质量流量
(ρ ρ xδ 2)x(x VVxxδ 2)xδyδz
vFX
vx
vx x
dxvx 2 y
dy 2
vFx vx vxxd 2 x[1 2( vyx vxy)d 2]y[12(vyx
vy x
)dy] 2
移动 线变形运动 角变形运动 旋转运动
Y和Z方向的速度由同学们自己分析！
流体力学
第二节 有旋运动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为 两类：有旋流动和无旋流动。
B、C在x方向有速度差
vBxvCxvxx dx
经过dt时间BC边伸长
A
D
vx dxdt
x
单位时间单位长度的伸长：
v
x
B
C
x
同理y向线变形速度：
vy y
流体力学
3.角变形运动
B、C在y方向有速度差：
A
vByvCy
vy x
dx
d
在dt时间内BC线段将旋转：
dtadnvxydxdtvydt B
dx x 同理，AB在dt时间线段将旋转： v x dt
v ds
vd s(v xd x v yd y v zd)z
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
流体力学
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周 线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线 的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。
dx 2
vCY vy
vy x
dx 2
B点速度:
vBX
vx
vx y
dy 2
vBY
vy
vy y
dy 2
B
M
C
D
y
0
x
流体力学
二、物理意义（以平面流动进行分析）
1.平移运动
向左移动 v x dt
向上移动 v y dt
v x dt
vx v y v y dt
流体力学
2.线变形运动 每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度
dJ2dA
有限截面涡管的涡通量
J 2ndA
A
涡通量
流体力学
4. 速度环量Γ
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。 实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋
转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。
可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密
切关系。
流体力学
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
规定逆时针旋转角度为正：
BC边旋转的角度为：
d vy dt
x
BA边旋转的角度为：d －vx dt
y
A
d
B
d
C
流体力学
轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：
x
1 2
vz y
v y z
y
1 v x 2 z
vz x
z
1 2
v y x
vx y
2 x
y2
z2
流体力学
流体质点速度表达为：
选取一微元体，中心点为
M（x，y，z），密度为ρ，
边长分别为δx，δy，δz，且 分别平行于x，y，z轴。
ZY
X
M点速度： v vxivy jvzk
N点坐标： (xx/2,y,z)
N点密度：
( x)
x 2
N点x方向速度分量：
vx
vx x
x
2
C
G
D N
.
B
.M
H
.O
F
A
E
通过以N点为中心流入微元体的质量流量
dΓ 0 dt
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有 势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也 是不能自行消灭的。
➢斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的 质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。
流体力学
第三节 微分形式的连续性方程
当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量 守恒定律。对于一定的控制体，必须满足输运公式。它表示在 控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率 等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。
流体力学
第一节 流体微团运动的分解
一、物理模型
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系:
M点速度: vx , v y
A
C点速度:
vCXvx
vx x
y
d
C
流体力学
单位时间内直角∠ABC变成锐角∠A‘B’C‘，变形速度为：
ddvy vx
dt x y
定义XY平面的剪切变形率为：z
1(vy 2 x
vx y
)
同理可得：
x
1(vz 2 y
vy ) z
y 12(vzx
vz ) x
流体力学
4.旋转运动
流体微团的旋转角速度的定义 为每秒内绕同一转轴的两条互 相垂直的微元线段旋转角度的 平均值。