2020中考专题复习----反比例函数

第1讲 反比例函数的有关面积问题（一）

【学习目标】

1．理解并掌握反比例函数中的比例系数k 的几何意义；

2．会灵活运用k 的几何意义求图形面积或由图形面积求k 的值．

【重难点】

k 的几何意义和面积的转化．

知识点与方法技巧梳理：

k 的几何意义

1．过反比例函数y ＝

k

x

图象上任意一点P （x ，y ）作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，

则矩形的面积S ＝|

x |·|

y |＝|

x y |＝|k |．

2．反比例函数y ＝

k

x

图象上任意一点P （x ，y ）作x 轴或y 轴的垂线，垂足、原点、P 点组成一个直角三

角形，则三角形的面积S ＝

1 2 |

x |·|

y |＝

1 2 |

x y |＝

1

2

|k |．

【例1】若直线y ＝kx （k ＞0）与函数y ＝

1

x

的图象交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，则△ABC 的面积为（ ）

A ．1

B ．2

C ．k

D ．k

2

【变式】如图，A 、B 是函数y ＝

2

x

的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC

的面积为____________．

【例2】如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，分别过这些点作x 轴的垂线与反比例函数y ＝

2

x

的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，连接OP 1，A 1P 2，A 2P 3，A 3P 4，A 4P 5，得到

Rt △OP 1A 1，Rt △A 1P 2A 2，Rt △A 2P 3A 3，Rt △A 3P 4A 4，Rt △A 4P 5A 5，设它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝_____________．

【变式】如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，分别过这些点作x

轴的垂线与反比例函数y ＝

1

x

的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P n ，再分别过P 2，P 3，P 4，…，P n 作

P 2B 1⊥A 1P 1，P 3B 2⊥A 2P 2，P 4B 3⊥A 3P 3，…，P n B n －1⊥A n －1P n －1，垂足分别为B 1，B 2，B 3，B 4，…，B n －1，连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…，P n －1P n ，得到Rt △P 1B 1P 2，Rt △P 2B 2P 3，Rt △P 3B 3P 4，…，Rt △P n －1B n －1P n ，设它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝_____________．（用含n 的式子表示）

【例3】如图，正方形OABC 的面积为9，点B 在反比例函数y ＝

k

x

（k ＞0，x ＞0）的图象上．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点P 是反比例函数图象上异于点B 的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合的两部分的面积和为S ，当S ＝

9

2

时，求点P 的坐标．

【变式】如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数y ＝

k

x

（k ＞0，x ＜0）的图象上，若点R 是

该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S ＝m （m 为常数，且0＜m ＜4）时，求点R 的坐标（用含m 的代数式表示）．

【例3】如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y ＝

k

x

（k

＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两

点，若△OAB 的面积为9，则k 的值为____________．

【变式1】如图，A 、B 是双曲线y ＝

k

x

上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴于C ，交OB 于D ，若D 为OB 的中

点，△ADO 的面积为1，则k 的值为____________．

【变式2】如图，反比例函数y ＝

k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过Rt △AOB 的斜边OA 上的点C ，且 OC OA ＝ 1

3

，

与AB 边交于点D ，连接OD ，若△AOD 的面积为8，则k 的值为

【能力提升】

1

．如图，正方形ABCD 的边长为2，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，顶点A

在双曲线y ＝

1

2x

上，边CD 、BC 分别交双曲线于E 、F ，且线段AE 恰好经过原点，则△AEF 的面积为

2A （－1，0），B （0，－2），AD 边交y 轴于点E ，S

四边形

BCDE ＝5S △ABE ．反比例函数k

y x

的图象经过点C ，与BC 边交于另一点F ，则点F 的坐标为____________．

3．已知直线y ＝

1 2 x 与双曲线y ＝

k

x

（k ＞0）交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．过原点O 的另一条直

线交双曲线y ＝

k

x

（k ＞0）于C 、D 两点（点C 在第一象限），若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的面积为

24，则点C 的坐标为________________．