薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)

Ñ ds 0
从图2—19杆件中面微元发生剪切 变形可以看出：
du q
ds
Gt
u
s 0
q Gt
ds
uA
设开口处点Ａ为曲线坐标s的起
始点，将上式沿轮廓线积分一周
再回到点Ａ，应有
q q0 qA
q
u uA Ñ Gt ds 0
蜒 Gq0t
ds
qA
ds Gt
0
qA
Ñ qt0 ds Ñ dts
s 0
xtds
t
A
闭合截面中的剪力流由两项组成：
（1）切口后的开口截面上的剪力流q0， 其剪力流在开口处为零； （2）开口处作用的剪力流qA，它沿截 面外形轮廓线是一常数。
q q0 qA
q0仅根据静定条件就可求，称之为静定剪力流。 qA需要根据变形协调条件来确定，为超静定剪力流。 单室闭合截面薄壁杆件在求解其弯曲剪力流时，可称 其为内部的一次超静定结构。 根据A点的变形，以位移协调条件来求解qA，变形协调 条件
q
i
Q
x
I y
xi xi1
Qy Ix
yi yi1
liti
2
4、 剪力流分布规律
（1）剪力流与水流相似，在任一节点处，其流出的剪力流 必与流入的剪力流相等。
一般情况下，当在节点p处有m个薄板板段汇合时，其 中l=m-1个板段在p点一侧的剪力流qp.1，qp.2，……qp.i……qp.i 为已知，且向着s1，s2……si……sl的坐标方向前进（图2— 11b）。当求沿坐标sm方向板段的剪力流qp.m时，其值应为已 知l个板段剪力流的代数和
Qx Iy
Sy
t A
对于开口截面，可把起始点Ａ选在开口处，由剪应力互等定理 知τＡ＝０，从而消除了（ τt)Ａ项。
3、 直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算
取si为从点i至点Ｐ的距离，则在板段i至i＋１内的任意点Ｐ（x， y）处的剪力流q可由式（2.15）得出。
q
qi
Qy Ix
si 0
si 2
sin i
siti
Qx Iy
xi
si 2
cosi
siti
2.３ 单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力
任意闭合截面薄壁杆件， 假想在某点Ａ处将杆件沿母线 切一口，以点Ａ为曲线坐标的 起始点，截面中的剪力流可按 式（2.17 )计算。
q t Qy Ix
s ytds Qx
0
Iy
1
I
2 xy
IxIy
其次，考察微段截面上的剪应力，
由∑Ｚ＝０
zt t 0
z
s
由于t=t（s）与z无关，
t z t 0
z s
由此，解得
t
s
t
0
z
z
ds C1 z
一般可以称剪应力τ与壁厚t的乘积τt为剪力流：沿曲线坐标s单位 长度方向的剪力，常用q表示。（假定剪应力沿厚度均匀分布）
xti dsi
si 0
xi si cosi
ti dsi
xisi
si2 2
cosi
ti
si 0
yti dsi
yi si
si2 2
sin i
ti
把上两式代入（2.19）即可得到板段i到i＋１内任意点Ｐ处的剪力流q
q
qi
Q
y
I x
yi
si 2
sin i
siti
Qx Iy
2.1.2 截面特性的计算
任意形状开口截面薄面杆件，计算其对 形心轴的截面几何性质Ｉx、Ｉy和Ｉxy时
I
y
sl x2tds
0
Ix
sl y 2tds
0
I
xy
sl
xytds
0
2.1.3 中和（性）轴位置的计算
z
Mx Ix
y My Iy
x
求中和（性）轴的位置时，可依 z 0 的条件得到
Mx y My x 0
Ix Mx
Mx My
Ix Iy
中和轴与合力矩的作用面未必正交
arctan
My Iy
Ix Mx
2.1.4 位移计算
tan
tan
My Iy
Ix Mx
M M
x y
Ix Iy
梁上作用有一横向荷载Ｐ，它与x轴的夹角为 β，求其作用下梁所产生的位移。把Ｐ沿主轴x、 y方向分解成为Ｐcos β与Ｐsin β产生的位移分别 为
yti dsi
Qx Iy
si 0
xti dsi
q t Qy s ytds Qx s xtds t
Ix 0
Iy 0
A
q
qi
Qy Ix
si 0
yti dsi
Qx Iy
si 0
xti dsi
板段对x轴有逆时针方向的夹角θi
x xi si cosi
y
yi
si
sin i
si 0
IxIy
当x、y轴为主轴时，Ｉxy＝０，则有
Mx Mx
My My
z
Mx Ix
y My Iy
x
在上述推导中，仅利用了几何条件式、物理条件 式和平衡条件式，而与杆件截面的几何形状和尺寸 无关。上面的结果适用于任意截面，包括开口截面 与闭口截面。如果在截面上还有轴力N，则在上式 中加上一项由轴力引起的正应力N/A即可。
Qy
M x z
Qx
M y z
q t Qy s ytds Qx s xtds t
Ix 0
Iy 0
A
q
t
Qy Ix
Sx
Qx Iy
Sy
t A
当x、y轴为截面主轴时，Ｉxy＝０
s 0
ytds
s
0 ydA Sx
s
s
0 xtds 0 xdA Sy
q
t
Qy Ix
Sx
(i 1, 2,K , n)
蜒 ds
qi1
i,i1
t
qi
i
ds
ds
t
qi1
1,i 1
t
i
q0 ds t
(i 1, 2,K , n)
也可写成
i
qo t
ds qi
i
ds t
qk
ik
ds t
0
求出超静定剪力流qi（i=1,2……n）后，便可求得最后的剪力流
nபைடு நூலகம்
q q 0
qi
i 1
小结
Ix
Iy
若取中和轴 oo 与x轴成逆时针方向
的夹角为α，则有
arctan
My Iy
Ix Mx
当x、y轴为截面的形心主轴时
arctan
My Iy
Ix Mx
如果取合力矩ＭR的作用面与x轴正向
的夹角为β，则有 tan M x。中和轴与
My 合力矩作用面夹角之间的关系：
tan
tan
My Iy
第2章 薄壁杆件的弯曲
2.1 薄壁杆件的弯曲正应力 2.2 薄壁开口截面杆件弯曲剪应力 2.3 单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力 2.4 多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力 2.5 剪切中心 2.６ 剪切滞后
2.1 薄壁杆件的弯曲正应力
1、 弯曲正应力的计算 2、 截面特性计算 3、 中和轴位置计算 4、 位移计算
x kP cos / EI y
y kP sin / EIx
合位移的大小为
2 x
2 y
当取位移方向与x轴逆时针方向的倾角ψ为正时，
arctan y x
arctan
tan
I I
y x
比较式（２.10）和（2.8），可得
tan 1 tan
ψ＝α±π／２，合位移
方向与中和轴相垂直。
2.2 薄壁开口截面杆件弯曲剪应力
1、剪切中心定义 2、任意截面形状弯曲剪力流计算 3、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流
计算 4、剪力流分布规律
1、 剪切中心定义
剪切中心：当杆件上荷载的合力通过杆件截面上的 某一特定点，杆件只发生弯曲不产生扭转。也称弯曲中 心 ，扭转中心，简称剪心。
剪 切 中 心
t
对于单轴或双轴对称截面，仅在其某一对称轴方向作用
有剪力时，弯曲作用所产生的剪力流必然对称，因此在截面
该对称轴上必有剪力流等于零。在计算时，若将曲线坐标s＝ ０取在截面对称轴上，显然是qA＝０，这样就有q＝q0。
2.4 多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力
第i室各壁超静定剪力流分别为： 第i室和第i-1室边界壁处
由式（2.1），有
z M x y M y x
z z Ix z I y
将上式代入
z
Mx Ix
y My Iy
x
t
s
t
0
z
z
ds C1 z
q t Qy s ytds Qx s xtds t
Ix 0
Iy 0
A
由于tds=dA
s
0 s
ytds
s
0 ydA Sx
s
0 xtds 0 xdA Sy
xi
si 2
cosi
siti
q
qi
Q
y
I x
yi
si 2
sin i
siti
Qx Iy
xi
si 2
cosi
siti
在节点i＋１处的剪力流qi＋１为
qi1
qi
Q
x
I y
xi
li 2
cosi
liti
Qy Ix
yi
li 2
sin i
liti
用节点坐标表示
qi1
本节仅讨论纯弯情况。非纯弯可以通过力的平 移原理把它分为合力通过剪心的弯曲问题和由于力 的平移产生附加扭矩引起扭转问题的叠加。
2、 任意截面形状弯曲剪力流计算
横向荷载的合力通过剪切中心使杆件只发生弯曲
首先建立该微段的平衡方程，求截面上的剪 力与弯矩的关系。
由∑Ｍx＝０、 ∑Ｍy＝０，得
Qy
M x z
2.1.1 弯曲正应力的计算
图２－１所示为一具有任意横截面的薄 壁杆件，Ｏ为形心，Ｏxyz为过形心的一任 意直角坐标系。
y cos x sin
平截面假定 正应力
z
1
z
E
z
Ey
cos
Ex
sin
由绕x、y轴的力矩平衡方程，得
z
Ey
cos
Ex
sin
Mx
A z ydA
Ey2 cosdA A
qi,i1 qi qi1 第i室和第i＋1室边界壁处
qi,i1 qi qi1
第i室非边界处
qi
第i室各壁剪力流分别为：
第i室和第i-1室边界壁处
q q0 qi qi1
第i室和第i＋1室边界壁处 q q0 qi qi1
第i室非边界处 建立变形协调条件
q q0 qi
q
Ñi t ds 0
弯曲正应力的计算
z
Mx Ix
y
My Iy
x
薄壁开口截面杆件弯曲剪应力
q t Qy s ytds Qx s xtds t
Ix 0
Iy 0
A
单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力
蜒蜒 q
Qy Ix
Sx
Sx ds t ds
t
Qx Iy
Sy
Sy ds t ds
t
2.5 剪切中心
1、剪切中心位置分布规律
q
q0
Ñ q0
ds t
Ñ dts
q
t
Qy Ix
Sx
Qx Iy
Sy
t A
q
q0
Ñ q0
ds t
Ñ dts
蜒蜒 q
Qy Ix
Sx
Sx ds t ds
t
Qx Iy
Sy
Sy ds t ds
t
坐标轴为主轴时
蜒蜒 q
Qy Ix
Sx
Sx ds t ds
t
Qx Iy
Sy
Sy ds t ds
Qx
M y z
由式（2.2）和（2.12）可知，“有效剪力”与剪力之间的关系为
Q y
M x z
Qy Qx
1
I
2 xy
I xy I y IxIy
Qx
M y z
Qx Qy
1
I
2 xy
I xy I x IxIy
M
x
Mx My
1
I
2 xy
I xy I y IxIy
M
y
M y M x I xy I x
Exy sindA A
E cos
Ix
E sin
I xy
M y
A z xdA
E sin
Iy
E cos
I xy
z
Mx Ix
y My Iy
x
M x M y 称为“有效弯矩”
M
x
Mx My
1
I
2 xy
I xy I y IxIy
M
y
M y M x I xy I x
1
I
2 xy
根据截面内的合成剪力通过剪切中心的概念，可得以下规律： (1)由薄板相交于一点组成的截面，其交点即为剪力中心； (2)截面由对称轴时，剪切中心一定在对称轴上； (3)双轴对称截面，其剪切中心与截面形心相重合。
2.5.2 薄壁开口截面剪切中心
q
t
Qy Ix
Sx
Qx Iy
Sy
t A
无论对开口截面还是闭合截面，由剪力流确定的剪切中 心与外荷载无关,仅取决于截面的几何形状。
取如图所示的任意薄壁开口截面，xoy为形心坐标系，B 为剪切中心，则由合力矩定理（弯曲剪力流绕剪切中心的合 力矩必为零）知：
l 0
qB ds
0
剪力流在x、y方向的合 力可以写为
l
Qx 0 q cos i ds
l
Qy 0 q sin i ds
在xoy坐标系内任取一点A，它在此坐标系中的坐标为（xA、 yA），过该点作平行于oxy的坐标系 A ，设剪切中心B在
2、薄壁开口截面剪切中心
坐标轴为截面的形心主轴 坐标轴为截面的形心轴，但非主轴
3、薄壁开闭混合截面剪切中心
坐标轴为截面的形心主轴 坐标轴为截面的形心轴，但非主轴
2.5.1 剪切中心位置分布规律
剪切中心：截面内的合成剪力通过点或弯曲剪力流绕某一点的合力矩 为零，该点即为剪切中心。
弯曲中心: 当横向荷载通过此点时，梁仅产生平面弯曲而不产生扭转。
（2）当所选轴与截面主轴相一致时：
１、当Ｑx＝０、Ｑy≠０时，仅平行于x轴方向的板段 剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流呈抛物线分布。
２、当Ｑy＝０、Ｑx≠０时，仅平行于y轴方向的板段 剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流则呈抛物线分布。
（3）开口截面开口处剪力流为零。
q
qi
Q
y
I x
yi