教你如何做出最佳选择——简单线性规划求最优解

教你如何做出最佳选择

——简单的线性规划求最优解

在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。目标函

数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。若Z y x ∈,时，z

取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。点),(y x 的横、纵坐标都是整数，

称为整点。

求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）

给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大；

（2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最

小。因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求

解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为

笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两

种寻找最优整解的方法与大家探讨。

这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举

法)。调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出

最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的

绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，

代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。

下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。

例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张

钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多

少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+N

y N x y x y x y x ,27

3182152 目标函数 z x y =+ 作出可行域如图所示，作出直线0x y +=。作出一组平行直线x y t +=（其中t 为参数）。

其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 273=+y x 和

直线 152=+y x 的交点1839(,)55A ，直线方程为5

57=+y x 。 由于185和395

都不是整数，而最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以，可行域内点1839(,)55

A 不是最优解。 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），且与原点距离最近的直线是12x y +=。

经过的整点是B （3，9）和C(4，8)，它们是最优解。

故要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。两种方法都最少要截两种钢板共12张。

点评：在解线性规划问题时，常有一些实际问题需要变量取整数解时才有实际意义，而当可行域中的最优解不是整数解时，需作出可行域的整点作出判断。当直接观察比较困难时，应对可能的情况进行检验。线性规划整数解问题的一般处理方法是：若区域“顶点”处恰为整点，那么它的最优解在“顶点”处取得（在包括边界的情况下）；若区域的“顶点”不是整数点也不包括边界时，可以先算出目标函数z 的值，在可行域内适当放缩目标函数的值，使他为整数，且与z 最接近，在这条对应的直线，取可行域内的整点。如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。这种

方法称为调整优值法。也可以通过画出网格，平移直线，运用图解法求得。

例2(枚举法) 某人有楼房一栋，室内面积共180 2m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 2m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15 2m ，可住旅客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且假设游客能住满客房，它隔出大房间和小房间各多少间会获得最大收益？最大收益是多少？

解：设隔出大、小房间分别为x 间，y 间，收益为f 元，

则200150f x y =+，其中,x y 满足6560534000

x y x y x y ì+?ïïïï+?ïíï³ïïï³ïî 如图所示，由图解法易得200150f x y =+，过点2060,77

骣÷ç÷ç÷ç桫时，目标函数f 取得最大值。但,x y 必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数f 取得最大值的整点。显然目标函数f 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优值。这些整点有：(0, 12), (1, 10),(2, 9), (3, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 3), (7,1 ), (8, 0)，分别代入200150f x y =+。

逐一验证，当取整点(0, 12)或(3, 8)时，获得最大收益。

所以获得最大收益有两种方案：I ．只隔出小房间12间。

II ．隔出大房间3间，小房间8间，最大收益均为1800元。

注：如果把装修考虑在内，则选择第一方案好。

枚举整点法的主要步骤是验算-筛选，而优值调整法更注重推理计算。它们的共同步骤是：1. 建模(审题、设元、列式)，2.

求解（画图、移线、求解），

3.检验（还原）。总之，对于线性规划实际应用题，应采用数形结合的思想来分析、解答，各种方法各有利弊，在使用时要根据题设条件选用适当的方法解答。