非平衡格林函数模型：单粒子NEGF方程概要

非平衡格林函数模型：单粒子NEGF 方程概要

Magnus Paulsson

微纳米技术系，NanoDTU ，丹麦技术大学

2006年1月4日

摘要

非平衡格林函数方法常用于计算纳米尺寸的电导器件（包括分子和半导体）外加偏压后的电流及电荷密度。该方法主要用于处理弹道输运，但扩展后也可处理存在非弹性散射的输运问题。本文将尽可能清晰的导出NEGF 方法中计算电流及电荷密度矩阵的几个重要方程，并加以解释。

1、引论

非平衡和林函数方法常用于计算纳米尺寸的电导器件（包括分子和半导体）外加偏压后的电流及电荷密度。关于分子电子学的一般性理论可参看文献1，有关半导体纳米器件的相关理论可参看文献2。

本文的目的是使读者对于单电子格林函数以及由此得到的电流、电荷密度矩阵表达式有一个直观的理解。本文在内容上并不求全责备，只作为文献1-4的补充。

2、格林函数

分立的薛定鄂方程

H n E n =

(1)

我们把系统的哈密顿量以及波函数按三个子空间分割：器件

(,)

d d H ψ以及

两个接触电极1,21,2(,)

H ψ

1

1

1

1

††122

22200d

d

d H H E H τψψττψψτψψ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

(2)

其中

1,2

τ描述器件与接触电极之间的相互作用。在这里我们假定不同的接触

电极之间是相互独立的，亦即，不同的接触间没有相互作用项τ。

我们将格林函数定义为1：

()()E H G E I -=

(3)

2.1 为什么要计算格林函数？

如果在薛定鄂方程中加入一个恒定微扰项υ，则格林函数正反映了系统对这种微扰的响应。具体来看，薛定鄂方程：

H E ψψυ=+ (4)

对于微扰的响应： ()E H ψ

υ-=- (5)

()G E ψυ=-

(6)

为什么我们想要知道针对这种微扰的响应呢？因为通常说来，计算格林函数都比直接处理本征值问题要容易（由下一节的阐述可看出）2，更妙的是，体系的大多数性质（对于单粒子系统是所有性质）都可以通过格林函数来得到。举个例子，我们来算算接触电极的波函数()2ψ。器件中的波函数作为已知条件，根

据方程(2)的第三行，有：

2222d H E ψτψψ+=

(7) ()222d

E H ψτψ-=

(8)

222()d g E ψτψ=

(9)

其中2g 就是接触2孤立时的格林函数()()22E H g I -=。

值得注意的是，因为我们的系统无限长，所以我们会从格林函数的定义式中解出两个解3。我们把它们分别称作超前解和推迟解4，分别对应接触中的入射波和出射波。

标注：我们将用G 来表示推迟格林函数，†G 来表示超前格林函数（偶尔可能会使用,R A G G ）。

1 其他文献中的定义可能（也的确有）符号跟我们相反 2

特别是对无限长系统

3 当电子的能量与接触电极的能带匹配时，会有两个解，分别对应接触中的入射波和出射波

4 在实际操作中，我们通过在能量上加入一个虚部，继而将虚部对0求极限来得到两个不同的解。极限0+

→得到的就是推迟解，0-

→得到的就是超前解。我们可以通过傅利叶变换将格林函数变化到时域来检验这一结论。

大写的G 表示整体系统的格林函数，以及它的子空间，比如11,,d d G G G 。小写的G 用来表示孤立子系统的格林函数，比如()22E H g I -=。

还有一点需要注意的是，在方程(9)中，如果使用推迟格林函数2g ,得到的

波函数对应接触电极中的一个出射波；如果使用超前格林函数†

2g ，得到就是入

射波。 2.2自能

计算格林函数的一大原因是，它比求解薛定鄂方程更简单。另外还有一点：想知道器件的格林函数D G 并不需要求解整个系统的格林函数G 。从格林函数的定义式可得：

1

11112†

†12122

221220

0000000d d d d d d

E H G G G I E H G G G E I E H G G G I ττττ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪---= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

(10)

选取第二列对应的三个方程： 111()0d d E H G G τ--=

(11) ††

1122()d d d d G E H G G I ττ-+--=

(12)

†

222()0d d E H G G τ--=

(13)

通过方程(11)和(13)可解出12,d d G G ： 111d d G g G τ= (14)

222d d G g G τ=

(15)

代入方程(12)中：

††

111222()d d d d g G E H G g G I ττττ-+--=

(16)

从中d G 易得：

()1

12d d G E H -=--∑-∑

(17)

其中†1111g ττ∑=和†

22

22g ττ∑=即我们所说的自能。 粗略的说来，接触对于器件的影响可以看作在器件自身的哈密顿量上加入了一个附加的自能，于是我们计算器件的格林函数时直接采用有效哈密顿量