工程力学 第九章_圆轴的扭转讲解

x等，方向均垂直于该平面的交线，
且同时指向或背离其交线。
dz
目录
不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是 成立的。
因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料 的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等 定理总是成立的。
若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪 切状态。
M x Me 1 273.2N m
目录
(2)根据强度条件确定刀杆的直径
max

Mx WP
1
273.2 103
d3
MPa
60MPa
16
d 47.6mm
(3)根据刚度条件确定刀杆的直径
max

Mx GIp
180 π

1 273.2 80109 π
d4
180 π
45
103
2


1
＝1.28
A D2 12
2
2
46 103 1 0.52
目录
第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角

平衡吗？
一、 切应力互等定理
y

根据力偶平衡理论
( dydz)dx ( dxdz)dy

dy
z
dx

在相互垂直的两个平面上，切应力
必成对出现，两切应力的数值相
传动轴所能承受的最大扭矩
M xmax [ ]Wp 50 1003 /16N mm 9.8106 N mm 9.8kN m
(3)求传动轴所能传递的功率 P M en / 9549 9800 300 / 9549kW 307.9kW
目录
例9-2 已知离合器传递的功率P＝7.5kW, 转速n
80 109 0.0454
rad
7.47 104 rad
32
AC AB BC (1.12 103 7.47 104 )rad 3.73104 rad
目录
第四节 扭转时圆轴的刚度设计
刚度条件 最大变形小于或等于许用值
扭转角 单位长度扭转角
Mxl []
GIP
Mx [ ]
GIP
目录
三、三类刚度计算问题 1.刚度校核， 2.截面设计， 3.确定许用载荷： 在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用
刚度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计， 在算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。
目录
例9-4 一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切削功率
A
R0dA


R0
AdA 2πR02 Mx
Mx Mx 2π R02 2 A0
目录
第二节 圆轴扭转强度设计
m ax

Mx WP
[ ]
1. 等截面圆轴：
三类强度计算问题： 强度校核; 截面设计; 确定许用载荷;
2. 阶梯形圆轴：
m ax

Mx WP
[ ]
m ax

(Mx WP
)max
[ ]
目录
例9-1 一传动轴如图所示。设材料的许用切应力[ ] 50MPa，轴的
直径 d= 100 mm，转速 n = 300 r/min。试求该传动轴所能传
递的功率。
解：(1)作扭矩图。
(2)建立强度条件
m ax

Mx WP
[ ]
形状、大小、互相之间的距离不变的平面。
由平面假设可推断，横截面上只有沿圆周切线方向的 切应力。
目录
二、横截面上的切应力
1.几何方面
取微段dx



d
dx
2.物理方面
G


G
d
dx
3.静力等效
dA Mx
A
d M x
dx GIP
G
d
dx
A
2dA

G
d
=100r/min,轴的最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外
直径之比 = 0.5。二轴长度相同。求: 实心轴的直径d1和
空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。
解：
Mx
Me
9550 P n
716.2N m
目录
空心轴
max2
Mx WP 2

16M x
πD23 1 4
Fra Baidu bibliotek M AL
GI p
MA Me L GI p
MBL GI p
0
解得:
MA

MB

Me 3
MMee-2M/3A
-
目录
小结
一、横截面上的切应力
M
x



Mx Ip
实心轴
空心轴
max

Mx Wp
目录
二、扭转强度条件
m ax

Mx WP
[ ]
三类强度计算问题： 强度校核; 截面设计; 确定许用载荷;
解： （1）内力分析 AB段 M x1 120N m BC段 M x2 80N m
目录
（2）变形分析
AB

M x1 lAB GIp

120 0.3
80109 0.0454
rad
1.12103 rad
32
BC

M x2 lBC GIp

80 0.3
m 0.5
m
32
d 6.57 102 m 65.7mm
取 d 66mm
目录
例9-5 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。
解：1.列静力平衡方程
Me
Me
MA MB 0
2.变形协调方程 BA 0
A
L
L
B
L
MA
Me
Me
MB
MMe /3A
+
MMeB/3
+
3.代入物理方程，建立补充方程
620 N·m
1400 N·m
d2
780 N·m
780 N·m
620 N·m
2 1
目录
例题9-3 某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变模量
G=80GPa，轴直径 d 45mm ，Me1 120N mm ，Me2 200N m ，
Me3 80N m 。求AB、BC及AC间相对扭转角。
第九章 圆轴的扭转应力、变形分析 与强度、刚度设计
第一节 圆轴扭转时的切应力分析 第二节 圆轴扭转强度设计 第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角 第四节 扭转时圆轴的刚度设计
本章重点
1.圆轴扭转强度计算 2.圆轴扭转刚度计算
第一节 圆轴扭转时的切应力分析
一、实验现象和平面假设 平面假设：变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为
三、扭转刚度条件
Mxl [] 或者 M x [ ]
GIP
GIP
三类刚度计算问题： 刚度校核; 截面设计; 确定许用载荷;
在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用 刚度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计， 在算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。
目录
40MPa
D2

3
π
16 716.2
1- 4 40106
0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
实心轴
max1
Mx WP1
16M x πd13
40MPa
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A
1
d2 1


dx
IP

Mx



Mx Ip
目录
Mx



Mx Ip
max

Mx Ip
R

Mx Ip R
令
抗扭截面系数
max

Mx Ip R

Mx Wp
目录
三、 Ip 与 Wp 的计算
实心轴
目录
空心轴
令
则
目录
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
目录
四、薄壁圆筒切应力的计算
当 d D 0.9 时，空心圆轴可视为薄壁圆筒
目录
二、 圆轴的扭转变形
Mx
d M x
dx GIP
1
GI P
l M xdl,
：相对扭转角
：抗扭刚度
Mxl
GI P
n M xili
i1 GI Pi
当轴上有几个外力偶作用时，先画出扭矩图，分段计算各轴段 的变形，各段变形的代数和即为轴的总扭转角。
目录
讨论题 试比较1、2两轴扭转角 1 、2 数值的大小。
P=8kW, 刀杆转速 n 60r/min，材料的许用应力[ ] 60MPa ,
G 80MPa ，, 刀杆的 [ ] 0.5 / m，试根据强度条件和刚度条件
确定刀杆的直径。
解: (1)确定刀杆的扭矩
P
8
Me 9 549 n 9 549 60 N m 1 273.2N m