连续小波变换定义与特性

小波重构定理的证明：
－ － 2 1 f ˆ ()a e _ i b _ ˆ ( a _ _ ) d _ _( _ g _ ( _ t) _ _ 1 a _ _ ( _ t_ a b _ ) _ d ) d a 2 t d a b
1 ( e i b( t b ) d ) ( a b 2 f ˆ ()_ ˆ( a _) _ g _ ( t_ ) _ d _ __ _ d a _ _t d _
可用的工具：
利用Forier变换的时间展缩性：
^
x(at)
1
xˆ( )
aa
连续小波变换的定义：
__________
W
(
f
)(b,
a)
a
1 2
f
(t)(t
b) a
dt
其中：f L2,a,bR,a 0
应满足的条件：
1.时频局部化。即 ，ˆ均有限。 2.振荡性。（表f的 征局部频率特性）
“容许性”条件：
小波变换重构定理的一个推广：
令1, 2是两个基小波，
c12 1 ˆ1() ˆ 2() d
则：
－
[
－
f ,b1,a
b2,a, g
da a2 db c1, 21
f,g
对所有的f , g L2成立，并且对于 f L2和f的连续点xR，有
f
(x)
1 c1, 21
－
－
f
,b1,a
b2,a
[ * ˆ , , * ˆ ] a aa a
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1.小波变换的时频状窗仅口与形参 a有数关。 2.时频窗口形状与a参 的数 关系。
当a下降时：中心频率，上升 频域窗口变宽，时口域变窗窄。
当a上升时：中心频率，下降 频域窗口变窄，时口域变窗宽。
2－ －
a
1 a e i tˆ(a)a 2 f ˆ()_ ˆ(a _) _ g _ ( _ t_ )d _ __ _ a d _ __ d t 2－ －
小波重构定理的证明：
1 ( |ˆ(a)|2d)e a i tfˆ()g _(t_ )d _d __ t 2－ － a
* a1
a1 a2
* a2
b1 a1t* b2 a2t*
t
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，了 它一 定个 义连续小波 W(变f )换 (b,a),则：
－
[W(f
－
)(b,a)W ___(_g__)_(b___,__a__)_da_2adbc
f
,g
对所有f的 ,gL2成立，并且对 f 于 L2和f的连续x点 R，有
对小波变换频域窗口的分析：
若 ˆ的时域中心在 * , 时域半径为 ˆ , 则 ( a 0 )：
由 ˆ b ,a
a
1 2
e i t
(t
b ) dt
aLeabharlann Baidu
^
a
1 2
(t
b
)
a
a
1 2
ae
ib ˆ
(a
)
分析 ˆ b ,a 可知
ˆ b ,a的中心在
* , 半径为 ˆ ,
a
a
W ( f )( b , a )的频域窗口为
f
(x)
1 c
－
[W(
－
f
)(b,a)b,a(x)
da2adb
小波重构定理的证明：
左端 － － ＝ f, b,a __ g,__ b,a _ _ _ _d a _ _2_ _d a__ b － － 2 1fˆ,ˆb ,a _g _,_b ,_ a _ _ _d a _ _ 2d _ _ a_b __
对“容许性”条件的分析：
3.
用
b ,a
(t)
a
1 2
(t
a
b
),
则
W ( f )( b , a ) f , b ,a
对小波变换时域窗口的分析：
若的时域中心在 t*,时域半径为 ,则： b,a的中心在bat*,半径为a ,
W ( f )(b,a)表征了信号f (t)在 [bat*a ,bat*a ]的信息。
c eitfˆ(
_____
)g(t)ddt
2－
c( eitfˆ(
_____
)d)g(t)dt
2－
小波重构定理的证明：
_____
cf(t)g(t)dt
－
c f,g
小波重构定理的证明：
对 － － [W (f)b(,a)W __ (_g_)_b _(_,_a__)__ d a_2 __ad _ bcf,g
连续小波变换
——定义与特性
引入连续小波变换的基本想法：
Gaobor变换的缺点在于其时频“窗口” 的宽度不随频率的变化而变化。
在实际应用中，窄的时间窗可以更精确 的描述信号的高频成分；宽的时间窗口 则有利于对信号低频特性的分析。
所以，在对信号进行时频局部化分析中， 我们需要一个自动随频率变化的时频窗 口。
若： L2,且满足条件：
ˆ () 2
c :
d
则称为基小波, c为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1. "容许性”条件隐含着： ˆ（0）＝0
即：(t)dt 0 （振荡性）
对“容许性”条件的分析：
2.
为了“基小能 波提 ”供一个局部窗 的口 时， 频 我们还得要 满求足：
t(t)L2,ˆ()L2
da a2 db
常见的基小波
Haar小波
1
1
1
1
2
常见的基小波
Meyer小波
常见的基小波
Morlet小波
常见的基小波
墨西哥帽子小波
取 g(x)＝ g（ tx)： (Ga窗 bo函 r 数），
f(x) l i0m f,ga
1
da ________________
l i0m c－ － [W (f)b (,a)W (ga)b (,a)a2db
小波重构定理的证明：
c1 － － [W (f)b (,a) l i0(m _ _ g_,__ b,_ a_ __ )_d a __ 2_d _ a __b c1－ － [W(f)b(,a)b,ada2adb