平行四边形单元测试基础卷试卷

平行四边形单元测试基础卷试卷

一、解答题

1．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．

(1)求证：AE＝AF；

(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是，MD、MN的位置关系是

(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

2．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；

（2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为时，四边形BCEF是菱形．

沿BE折叠，点A的对应点为点3．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE

G．

图1 图2

（1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是________；

（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．

①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．

4．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．

（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________． （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；

（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．

②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．

5．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．

（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：

①若522

CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =

； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最

小值．

6．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A B

、重合)，另一直角边与CBM

∠的平分线BF相交于点F．

(1)求证: ADE FEM

∠=∠;

(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

7．共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，AB=13，AE=52．

（1）如图1，求证：DG=BE；

（2）如图2，连结BF，以BF、BC为一组邻边作平行四边形BCHF．

①连结BH，BG，求BH

BG

的值；

②当四边形BCHF为菱形时，直接写出BH的长．

8．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .

（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；

（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.

9．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．

（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝

14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；

（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝

14

S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．

10．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；

（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；

（3）当325

t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析

【分析】

(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明

△ABE≌△ADF即可求解；

(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝

∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；

(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．

【详解】

解：(1)证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，

∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，

∴CE＝CF，

∴BC﹣CE＝CD﹣CF，

即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF．

(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：

∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，

∴AF＝2DM，