画法几何之平面的投影基本知识

b"
侧 平 面
c'
a'
c' X a
b
c" O YW
A a
b
C
c
c"
c YH
投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条直线。 (2)侧面投影abc反映ABC实形。
（3）投影面平行面汇总
投影面平行面的投影特性：
①在平行的投影面上的投影，反映真形。 ②在另两投影面上的投影，分别积聚成直线，且平行 于相应的投影轴。
Q B O
R α A
=0°，平面平行于投影面 倾角 =90°，平面垂直于投影面
=0~90°，平面倾斜于投影面
P
平面图形的投影特性：
①当平面图形倾斜于投影面时，投影为面积缩小的类 似形（或称相仿形，可能一边为真长，另两边短于真长）； ②当平面图形垂直于投影面时，积聚成直线； ③当平面图形平行于投影面时，投影反映真形（三条 边反映真长）。 G D
C F I H f g i h H A
E
a B b
c d
e
（1） 一般位置平面
Z c' c'
Z
c"
C
a' X A c a
c"
a' X b' c O b" a" YW
b'
O b" B b
a" a
Y
b YH
一般位置的平面图形的投影特性：三个投影面的投影 均为面积缩小的类似形。
（2） 投影面垂直面 1） 铅垂面—垂直于水平投影面
b'
e' 2' O X a' a
3 f' '
d' 1'
c'
d'
O 1
a 2
d
e d
b
c
b
f
3
c
[例2.13] 如图所示，已知点A、B和直线CD的两面投 影，求作过点A的正平面，过点B的与水平面的倾角为 45°的正垂面，过直线CD的铅垂面，并分别说明各有几 解。
a' QV X 45° b a PH b' RV 45° c TH c' O
平面P与投影面的交线称为平面的迹线，用平面名称 的大写字母加投影面名称字母的下标标注。
Z
V
PV P X O
平面与投影面H、V
W PW
和W的交线分别称为平面 的水平迹线、正面迹线和 侧面迹线。迹线的符号用
Y
PH
H
PH、PV和PW表示。
投影面垂直面有积聚性，在这个投影面上的所有点、 线和图形都积聚在它的有积聚性的迹线上，且这条迹线一 定倾斜于投影轴。
YH
（3） 投影面平行面 1） 水平面—平行于水平投影面
a' a'
b'
c'
Z
b" a"
c"
b' c' A B
水 平 面
a
b" a"
X c"
a
O
b
YW
C
b
c
c
YH
投影特性： (1) abc、abc积聚为一条直线。 (2)水平投影abc反映ABC实形。
（3） 投影面平行面 2）正平面—平行于正立投影面
[例2.15] 如图所示，已知△PQR及平面内的平面曲线 AE的水平投影，求作这条平面曲线的正面投影。
f' c' d' e' b' a' 1' 2' 3' 4' 5'
5 d c b f 4
3
2 1
（2） 圆及其投影特性
Z
正平圆的投影特性：
c"
c'
①V面上的投影反映真形； ②H面、W面上的投影为直 线，并分别平行于OX轴和 OZ轴，长度等于直径，中 点是圆心C的投影c、c" 。
（3） 平面上的图形
作平面上的图形可归结成作平面上的点和直线。
Z
[例2.21] d' 如图所示，平 d" 面P为侧垂面，与H面的倾角 SW α为60°，又知平面P上的 O YW 和 X 的正面投影△a'b'c' △ABC 点A的水平投影a、点B在点 d A的前下方，补全△ ABC的 YH 水平投影，作出它的侧面投 影。
a' M A H B C n' X a n c' b O
N
m
c
④特殊位置平面上的点和直线的检验和作图，常用 它的有积聚性的投影或迹线。
如图点D的水平投影d位于正平面△ABC的有积聚性的水平投影abc上，故 而点D是正平面ABC上的点。直线EF的水平投影位于铅垂面P的有积聚性的迹线 PH上，故而EF是铅垂面P上的直线。 b' e' d' c' a' X O X f e a b d c
a' a"
b"
正 垂 面

O a
Байду номын сангаас
A
c" YW
C
Q
b
YH
投影特性： (1)abc积聚为一条直线。 (2)abc、abc为ABC的类似形。 (3)abc与OX、OZ的夹角反映 、 角的真实大小。
（2） 投影面垂直面
3）侧垂面—垂直于侧立投影面
b' Z c' b" a' X C A c"
B P
的该投影面的平行线 (AB)
相垂直的直线 ( 有无数条 ) 。
A
明显的α1<α。
最大倾斜线是与 AC相 平行的一系列直线。
PH
α1 D(d) H
α
a
C(c)
投影面最大倾斜线与该投影面的倾角，也就是平面对 该投影面的倾角。
4、平面上的曲线和图形 曲线可以看作是不断改变方向的 点的连续运动的轨迹。 曲线的投影是曲线上诸点的投影的集合 平面曲线：所有的点都位于同一平 面上的曲线，如圆 空间曲线：连续四点不在同一平面 上的曲线，如圆柱螺旋线 平面曲线中圆在工程上应用最广，本文主要阐述圆 的投影特性及画法。
铅垂圆的两面投影及其作图过程
a'
d'
c'
e'
b' X
β
e
O
acb
d
从上述可归纳出圆的投影特性： ①在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形。
②在与圆平面垂直的投影面上的投影成直线，长度等 于圆的直径，中点是圆心的投影。
③在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆：椭圆的 中心是圆心的投影；长轴是平行于这个投影面的直径的投 影，且反映真长；短轴是平行于投影面的直径相垂直的直 径的投影。
c
a
b
c
a b a a
c b
a
b d
c
（1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。
c c b
2、平面对投影面的各种相对位置
一般位置平面：对三个投影面H、V、W都倾斜 铅垂面（⊥H面，对V、W面都倾斜） 投影面垂直面 正垂面（⊥V面，对H、W面都倾斜） （只垂直于一个投影面） 侧垂面（⊥W面，对H、V面都倾斜） 水平面（∥H面，⊥V面，⊥W面）
b' P a' B A Z
a"
b"
铅 垂 面
c' X
a
c"
O
YW

b
a
b
C
c

c YH
投影特性： (1)abc积聚为一条直线。 (2)abc、abc为ABC的类似形。 (3) abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小。
（2） 投影面垂直面 2）正垂面—垂直于正立投影面
b
a c c' B X c b' Z
X
c
O
YW
YH
铅垂圆的投影
长轴：铅垂直径CD的投影c'd'=D
短轴：水平直径AB的投影a'b'=Dcosβ
铅垂圆的投影特性：
①水平面上的投影成直线，该 直线反映圆平面对 V 面的夹角 β ， 长度等于直径，中点是圆心C的 投影c。 ②正面上的投影为一椭圆，长轴 是这个铅垂圆的唯一一条铅垂直 径的正面投影，且反映真长，短 轴是这个圆平面上与铅垂直径相 垂直的直径，长短轴的交点是椭圆的中心，也是圆心的投 影。
b' b'
a'
Z
b" a'
正 平 面
B A
b"
a"
c" O a" YW
c'
c' X
C c
b
c" a c
b
a
YH
投影特性： (1) abc、abc积聚为一条直线。 (2)正面投影abc反映ABC实形。
（3） 投影面平行面 3）侧平面—平行于侧立投影面
b'
b' B
b" a" a'
Z
a"
V
B D a b d QH c
A
W C
可以用投影面垂直面的一条有积聚性的迹线表示这个 投影面垂直面。
a' a"
X QH a
O
YW
YH
铅垂面的正面迹线 可以表示这个铅垂面。
d'
d"
正垂面的正面迹线 可以表示这个正垂面。
RV X d
O
YW
d'
d" SW
YH
X d
O
YW
侧垂面的侧面迹线 可以表示这个侧垂面。
c'
e' b'
a' X a e
d'
d
c
O
结论：点D在△ABC 平面上，点E和直线DE不 在△ABC平面上。
b
[例2.12] 如图所示，已知△ABC和点D的两面投影， 以及△ABC平面上的直线EF的正面投影e'f'，检验点D是 否在△ABC平面上，并作出直线EF的水平投影ef。
c'
b' e' X a' f'
d'
d
一解
两解
一解
[例2.14] 如图所示，已知△ABC，在△ABC平面上取 一点D，点D在H面之上15mm，在V面之前10mm，作出 点D的两面投影。
a' a'
b' c' X b a O X
1' b'
d'
2' 15 c'
b
d 2
c
c
10
1
a
O
平面上对某一投影面成最大倾角的直线，称为平面 上对某一投影面的最大倾斜线。 平面上对某一投影面 的最大倾斜线是与平面上
直线
投影面垂直线 （垂直于一个投影面， 正垂线（⊥V 面，∥ H面，∥ W面） 平行于另外两个投影面） 侧垂线（⊥W 面，∥ H面，∥ V面）
铅垂线（⊥H面，∥ V面，∥ W面）
平行线——平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 特殊位 垂直线——垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。 置直线
两个平面之间的夹角：就是两平面之间的两面角，可 用与两平面都垂直的平面和它们相交所得到的两相交线之 间的平面角表示。 平面与水平面H、正面V、侧面W的夹角，称为该平面 对投影面H、V、W的倾角，仍用α、β、γ表示。
平面上取点的方法：首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。 例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
k a a k
●
●
b c
②
●
b k
d
c
a b d c
b c
a
●
k
利用平面的积聚性求解
通过在面内作辅助线求解
[例2.11] 如图所示，已知正垂面△ABC、点D和E、 直线DE的投影图，检验点D、E和直线DE是否在△ABC 平面上。
投影面平行面必定垂直于另两个投影面，在另两个投 影面上的投影有积聚性。可以用一条或两条有积聚性的迹 线表示这个投影面平行面。
3 、平面上的点、直线 （1）平面上的点和直线的几何条件、投影特性 平面上的点和直线的几何条件是： ①平面上的点，必在该平面的一条直线上；反之，若 点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上 。
b' H B M A m' N X a' m a n' c'
C
b
n c
O
②平面上的直线，必通过平面上的两点，反之，若 经过平面上任意两点的直线必在该平面上。
b' m' H n' c'
B M A
N C
X
a' m a
b
n c
O
③通过平面上的一点，且平行于平面上的另一条直 b' m' 线的直线必在该平面上。
平面
投影面平行面 （平行于一个投影面， 正平面（∥V面，⊥H面，⊥W面） 垂直于另外两个投影面） 侧平面（∥W面，⊥H面，⊥V面） 其中投影面垂直面、投影面平行面统称为特殊位置平面
一般位置直线：对三个投影面H、V、W都倾斜
水平线（∥H面，对V、W面都倾斜）
投影面平行线 正平线（∥V面，对H、W面都倾斜） （只平行于一个投影面） 侧平线（∥W面，对H、V面都倾斜）
f'
O
PH
一般位置平面上的点和直线的检验和作图，常用上述 几何条件。
b' d' a' X a d e b f' f c e'
c' O
①点D、E分别在直线AB、 BC上 ②点D、E都是平面ABC上 的点 ③DE是平面ABC上的直线
④直线DF通过平面ABC上的点D，且平行于平面ABC上的 另一直线BC，所以，DF也是平面ABC上的直线
2.2.3 平面及平面曲线的投影
本节提要：
（1）平面的表示法 （2）平面对投影面的各种相对位置
（3）平面上的点、直线 （4）平面上的曲线和图形（自学）
1、平面的表示法
平面常以确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素表示。 b b b d a a a a c c b c c a b
曲线
（1） 平面曲线及其投影特性 平面曲线对投影面有三种不同的相对位置，分别具有
不同的投影特性： ①曲线所在的平面平行于投影面时，在该投影面上的 投影反映真形；
②曲线所在的平面垂直于投影面时，在该投影面上的 投影成为一直线段；
③曲线所在的平面倾斜于投影面时，在该投影面上的 投影成为形状缩小的类似形。
a"
b"

S 侧 垂 面
B
c"

O b c
a"
YW
a
投影特性： (1)abc积聚为一条直线。 (2)abc、 abc为ABC的类似形。
YH
(3)abc与OY、OZ的夹角反映 、 角的真实大小。
（2）投影面垂直面汇总
投影面垂直面的投影特性：
①在垂直的投影面上的投影，积聚成直线，并反映与 另两投影面的倾角； ②在另两投影面上的投影，为面积缩小的类似性。