集合之间的关系与运算

两直线平行⇔同位角相等。
集合关系与其特征性质之间的 关系
• 我们可以通过判断两个集合之间的关系 来判断它们特征性质之间的关系，或用 集合特征性质之间的关系，判断集合之 间的关系。
• 一般地，设A={ x | p(x) }，B={ x | q(x) }，如果A⊆B，则
x∈A⇒x∈B
于是
性质p(x)⇒x具有性质q(x)。
∅；
如果A⊆B，则 A∩B＝A.
并集
• 定义：一般地，对于两 个给定的集合A，B，两 个集合的所有元素构成 的集合，叫做A，B的并 集，记作
A∪B， 读作“A并B”。 • 例如，A={1,3,5}， B={2,3,4,6}，C={7,8} ，则
并集的性质
• 对于任意两个集合A，B，都有 A∪B＝B∪A； A∪A＝A； A∪∅＝∅∪A＝A； 如果A⊆B，则 A∪B＝B.
• 任何一个集合都是它本身的子集。
子集
AB BA来自百度文库
真子集
• 定义：如果集合A是集合B的 子集，并且B中至少有一个 元素不属于A，那么集合A叫 做集合B的真子集，记作
A⊊B 或 B⊋A， 读作“A真包含于B”或“B 真包含A”。
• 例如，A={1,2,3}，
真子集
• 根据子集、真子集的定义可以推知：
1.2 集合之间的关系与运算
1.2.2 集合的运算
学习目标
• 理解子集和集合相等的概念，能识别给 定集合的子集，能判断给定集合间的关 系，提高利用类比发现新结论的能力。
• 掌握并能使用Venn图表达集合的关系。 • 了解集合关系与其特征性质之间的关系
。
复习回顾
• 问题1：元素与集合之间的关系是什么？ • 问题2：集合有哪些表示方法？集合的分
类有哪些？
• 观察下列几组集合，集合A与集合B之间
有什么关系？
• A={1,2,3}，
B={1,2,3,4,5}
• A={x|x＞3}，
B={x|3x－6＞0}
• A={正方形}，
B={四边形}
• A={高一年级的女生}， B={高一年级的
学生}
子集
• 定义：一般地，如果集合A中的任意一个 元素都是集合B的元素，那么集合A叫做 集合B的子集，记作
A⊆B 或 B⊇A， 读作“A包含于B”，或“B包含A”。
• 如果集合P中存在着不是集合Q的元素， 那么集合P不包含于Q，或Q不包含P，分
别记作
• 思考：符号“∈”与符号“⊆”表达的含 义相同吗？
子集
• A=∅，B={0}，集合A与集合B之间有什么
关系？ • 规定：空集是任何一个集合的子集。
• A={平行四边形}，B={平行四边形}，集 合A与集合B之间有什么关系？
角相等推出这两个三角形全等。
• “推出”一词用符号“⇒”表示，读作 “推出”，于是上述命题可以表述为 两个三角形对应边相等、对应 角相等⇒这两个三角形全等。
集合关系与其特征性质之间的 关系
• 命题1：两直线平行，同位角相等。 命题2：同位角相等，两直线平行。
• 这两个命题的条件和结论可以互相推出 ，“互相推出”用符号“⇔”表示，于 是上述两个正确的互逆命题可表示为
...
集合中元素的个数 1 2 3 4 5 ...
子集的数目
• 探索与研究
1. 你能找出“元素个数”与“子集数目” 之间关系的规律吗？
2. 如果一个集合中有n个元素，你能写出计 算它的所有子集数目的公式吗（用n表述
）？
集合的相等
• 考察集合A={ x | (x+1)(x+2)=0 }，B={
-1, -2 }。
• 可以看出，集合A和集合B的元素完全相
同，只是表达形式不同。
集合的相等
• 定义：一般地，如果集合A的 每一个元素都是集合B的元素 ，反过来，集合B的每一个元 素也都是集合A的元素，那么 我们就说集合A等于集合B，
记作
A＝B。
• 由相等的定义，可得：
• 例2：说出下列每对集合的关系。
1. A＝{1,2,3,4,5}， B＝{1,3,5}
并集
• 如何用数学语言表示并集？ • A∪B={ x | x∈A或x∈B }。
• 练习：教材P16例1~例4 教材P17例5
集合中元素个数的运算
• 有限集合M所含元素的个数记作card(M) ，并规定card(∅)＝0。
2. P＝{x | x2＝1}， |x|＝1}
Q＝{x |
3. C＝{x | x是奇数}， D＝{x | x是整
数}
• 练习：教材练习A 1,3,4题，练习B 1,3,4题
集合关系与其特征性质之间的 关系
• 命题：如果两个三角形对应边相等、对 应角相等，那么这两个三角形全等。
• 这个命题还可以表述为 两个三角形对应边相等、对应
交集
• 如何用数学语言表示交集？ • A∩B={ x | x∈A且x∈B }。
交集
• 直线 l 与⊙O相交于两点A，B，用集合语 言可表示为
Bl
l ∩⊙O={A,B}
A
O
• 如何用集合语言表示平面内的两条直线
交集
• 两个非空集合的交集可能是空集吗？
交集的性质
• 对于任意两个集合A，B，都有 A∩B＝B∩A； A∩A＝A； A∩∅＝∅∩A＝
对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则 A⊆C； 对于集合A，B，C，如果A⊊B，B⊊C，则 A⊊C。
• 思考：空集是任意一个集合的子集，那 么空集是什么集合的真子集呢？
子集的个数
• 例1：写出集合A={1,2,3}的所有子集和 真子集。
子集的个数
集合
{a} {a,b} {a,b,c} {a,b,c,d} {a,b,c,d,e}
集合是怎样进行运算？
• 集合运算的含义：由两个已知的集合， 按照某种指定的法则，构造出一个新的 集合。
交集
• 定义：一般地，对于两 个给定的集合A，B，由 属于A又属于B的所有元 素构成的集合，叫做A ，B的交集，记作
A∩B， 读作“A交B”。 • 例如，A={1,2,3,4,5} ，B={3,4,5,6,8}，则 A∩B={3,4,5}。
x具有
• 练习：教材练习A 2题，练习B 2题
1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
学习目标
• 理解两个集合的并集与交集的的含义， 会求两个简单集合的并集与交集。
• 理解在给定集合中一个子集的补集的含 义，会求给定子集的补集。
• 能用Venn图表达集合的关系及运算，体 会直观图示对理解抽象概念的作用。