二维图形几何变换

O
图6-8
针对固定方向的拉伸
复合变换
坐标系之间的变换
问题：
y y' p(xp,yp) x'
y0
θ
O' x0 x
O
图6-9
坐标系间的变换
坐标系之间的变换
分析：
y y' p,也即p' x' py p* px
Op * y
O'(x0,y0)
Op* x
O
x
图6-11
坐标系变换的变换原理
坐标系之间的变换
(y,rowlen-x) (x,y)
阵列每个象素值颠倒 a13 a12 a11 a23 a22 a21
rowlen (a)逆时针旋转90°
交换行与列 a13 a23 a12 a22 a11 a21
光栅变换

90°、180°和270°的光栅旋转变换：
(x,y) (rowlen-x,vollen-y) rowlen (b)逆时针旋转180°
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上的覆盖率](Gray(x)表示某点的灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上的覆盖率+ Gray(2) × A在2上的覆盖率+ Gray(3) × A在3上的覆盖率
n
光栅变换

n
∑ [Gray(i) × Si]
Gray(A)=

基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换
二维变换矩阵
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c T1 d l m T2
p q T3 s T4
T1：比例、旋转、对称、错切 T2：平移 T3：投影 T4：整体缩放
平移变换


平行直线不变性；
相交不变性； 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不 变性； 比例变化可改变图形的大小和形状； 错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸 变。

复合变换具有形式：
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
4.1.3 复合变换
6.3.1 二维复合平移
两个连续平移是加性的。 6.3.2 二维复合比例 连续比例变换是相乘的。 6.3.3 二维复合旋转 两个连续旋转是相加的。可写为：
y’= rsin(a+θ) X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = rcosasinθ+rsinacosθ = x cos θ-y sinθ = x sin θ+y cosθ
矩阵：逆时针旋转θ角
顺时针旋转θ角?
cos sin 0
sin cos 0
a b y 1 c d l m
p q s
比例变换
Sx=Sy>1 原图 原图 Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a)
Sx=Sy比例 图6-3
(b) 比例变换
Sx<>Sy比例
比例变换
整体比例变换：
1 0 0 0 1 0 0 0 s
T y 1 p
光栅变换
直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。

光栅平移变换：
(a)读出象素块的内容
(b)复制象素块的内容
(c)擦除原象素块的内容
光栅变换

90°、180°和270°的光栅旋转变换：
a13 a23 a11 a12 a13 a21 a22 a23
a12 a22 a11 a21
x ' ax by m y ' cx dy n

仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性 平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特 例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变
换的复合。
变换的性质
二维几何变换具有如下一些性质：

直线的中点不变性；
(1) 旋转变换
(2) 针对坐标轴进行二维几何变换； (3) 反向旋转 例3. 相对直线 y=x 的反射变换
复合变换
例4. 将正方形ABCO各点沿图6-8所示的(0,0)→(1,1)方向进行拉伸，结果为 如图所示的，写出其变换矩阵和变换过程。
Y
2 3/2 A 1/2
A' B'
B
C' C 1/2 1 3/2 2 X
P
x
相对任一参考点的二维几何变换
例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换
y
P
y Tx Ty
P
F(xF,yF)
o P’ y Tx P Ty o x y x o
P
x
Tx=- xF Ty=- yF
Tx= xF Ty= yF
o
P
P
θ
x
复合变换
相对任意方向的二维几何变换
相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：
可以分两步进行：
y p(xp,yp) y' x'
y0
y y' p(xp,yp)
θ
O'
θ
O x0 x O x' x (a)将x'y'坐标系的原点平移到xy坐标系的原点 (b)将x'轴旋转到x轴上
坐标系之间的变换
于是：
x' x p' y' 1 p p p p T p T T t R
第4章 图形变换(二维)
提出问题：
如何对二维图形进行方向、尺寸和形状 方面的变换
如何方便地实现在显示设备上对二维图
形进行观察
基本概念
几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺
寸和形状方面的变换。
二维图形几何变换
平移变换 旋转变换 比例变换
0 cos 0
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
0 1
0
复合变换
6.3.5 相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：
(1) 平移 (2) 针对原点进行二维几何变换。 (3) 反平移
o y P’
θ F(xF,yF)
0 0 1
旋转变换
简化计算（θ很小）
x'
y ' 1 x
1 0 1 0 y 1 0 0 1
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y
Y
X
X
X (b)关于y轴对称
(c)关于原点对称
(a)关于x轴对称
对称变换
R R(1 ) R( 2 ) R(1 2 )
4.1.3 复合变换
其它二维复合变换
cos sin 0 cos R sin cos 0 0 0 1 0 0 1 tg 0 cos 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0
P'(4,3) P(2,1)
x ' xsx y ' ys y
Y
X
图6-2
比例变换(Sx=2,Sy=3)
比例变换
推导： x’=Sx*X,y’=Sy*Y
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
矩阵：
S x 0 0
0 Sy 0
0 0 1
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b c d y 1 l m
p q s
矩阵：
1 0 0 1 Tx Ty
0 0 1
Tx，Ty称为平移矢量
比例变换
比例变换是指对p点相对于坐标
原点沿x方向放缩Sx 倍，沿y方 向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比 例系数。
a b c d y 1 l m p q s
问题：S>1时缩还是放？
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
y/s
[x’ y’ 1]=[x y s]=[x/s
s/s]
旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正， 顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。 X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = x cos θ-y sinθ
(b)关于y轴对称
Y
P'(-x,y)
p(x,y) X
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(b)关于y轴对称
Y
对称变换
X
(3)关于原点对称
(c)关于原点对称
P(x,y) X
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(c)关于原点对称
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成 P’ = P * T 的形式： 1. 点的变换 2. 直线的变换 3. 多边形的变换 4. 曲线的变换
4.1.3 复合变换
复合变换是指：

图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y
X (d)关于x=y对称
(e)关于x=-y对称
X
对称变换
X
(1)关于x轴对称
Y
(a)关于x轴对称
Y
P(x,y) X P'(x,-y) (a)关于x轴对称
1 0 0 0 1 0 0 0 1
对称变换
X
(2)关于y轴对称
阵列每个象素值颠倒
vollen
a13 a12 a11 a23 a22 a21 将行序颠倒 a23 a22 a21 a13 a12 a11
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a23 a22 a21 a13 a12 a11
光栅变换

任意角度的光栅旋转变换：
旋转的 象素阵列 A 光栅网格 1 3 A 2
(e)关于x=-y对称
错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变 形处理。
Y
Y
Y
(a)
X 原图
(b)
沿x方向错切
X
(c)
X
图6-7
错切变换
沿y方向错切
错切变换
其变换矩阵为：
1 d b 1 0 0
0 0 1
(1)沿x方向错切
(2)沿y方向错切 (3)两个方向错切
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
平移是一种不产生变形而移动物体的
刚 体 变 换 （ rigid-body transformation）
P' T P Tx Ty
x ' x Tx y ' y Ty
Y
百度文库
X 图6-1 平移变换
平移变换
推导： x’=x+Tx,y’=y+Ty
i=1
光栅比例变换：
∑ Si
i=1
n
缩小时原图 中的相应象 素区域
放大时原图 中的相应象 素区域 (a)Sx=1/2,Xy=1/2 (b)原图 (a)Sx=1,Xy=3/2
1 2 4 3 G=(G1+G2+G3+G4)/4
1 2 G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
变换的性质
二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：
P' r θ r
α
Y
P X 旋转变换
y’= rsin(a+θ) = rcosasinθ+rsinacosθ = x sin θ+y cosθ
图6-4
旋转变换
推导：
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c d l m
p q s
Y
Y
对称变换
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x,y) p'(y,x) X (d)关于x=y对称
Y
X (d)关于x=y对称
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Y
对称变换
(5)关于y=-x轴对称
(e)关于x=-y对称
Y
X
x=-y
Y
P(x,y) X
P'(-y,-x)
0 1 0 1 0 0 0 0 1