康托尔集合

康托尔三分集的性质及其证明

06级数学系本科班 祁晓庚 074001061050

摘 要：简述康托尔三分集的定义，介绍它的六个性质并分别对每个性质进行证

明。

关键词：康托尔三分集 闭集 不可列 完全集 1、什么是康托尔三分集

将基本区间[]0,1用分点1

3

，2

3与三等分，并除去中间的开区间（

13

，2

3）。

把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（19

，

29

），（

79

，89

）。

然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集0P 与开集0G 。 0G =（1

3，

23）∪（2

13

，

2

23）∪（2

73

，

2

83

）∪（

3

13

，

3

23

）

∪（3

73

，

3

83

）∪（

3

19

3

，

3

203

）∪（

3

253

，

3

263

）∪…

0P 是0G 的补集 2、康托尔三分集的性质及证明

（1）0P 是一个闭集，不含有任何区间。

这是显然的，0G 是任意个开集的并，所以0G 仍是开集，0P 是0G 的补集，所以0P 是闭集。

这表明不含有任何区间的闭集是存在的。

（2）0P 是完全集

证明：要证0P 是完全集即证它不含有孤立点。

假设0P 有一孤立点0x ，则存在（α，β）使（α，β）中不含0P 中除

0x 以外的任一点。

所以（α，0x ）⊂0G ，（0x ，β）⊂0G 。

于是0x 将成为0G 的某两个区间的公共端点，但由于0G 的做法是不可能

的。

所以不存在这样的点0x ，与假设矛盾，所以得证0P 是完全集。

（3）0P 是不可列的

证明：假设0P 是可列的，将0P 中点编号成点列1x ，2x ，…，k x …，也就是说，0P 中任一点必在上述点列中出现。显然，10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦与2,13⎡⎤

⎢⎥⎣⎦中应

有一个不含有1x ，用1I 表示这个闭区间。将1I 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含2x ，用2I 表示它。然后用3I 表示三等分2I 时不含3x 的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列N k k I ∈}{。由所述取法知， 1I ⊃2I ⊃…⊃k I ⊃…，k x Ïk I ，k ∈N ，

同时，易见k I 的长为1

3

k

→0（k →∞）

。于是根据数学分析中区间套定理，存在点x Îk I ，k ÎN 。可是x 是k I 等的端点集的聚点，从而是闭集0P 的聚点，故x Î0P 。由于上面已指出k x Ïk I ，k ∈N ，故x ¹k x ，k ÎN 。这是一个矛盾。故0P 不可列。

（4）0P 的势等于À与[]0,1同势

证明：引进[]0,1中小数的三进表示来考察区间（1

3，

23

）中每个点x 可

表示成x=0.12x 3x …，其中2x ，3x ，…是0，1，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：

1

3=0.0222…，23=0.2000…， 区间（2

13

，

2

23

），（

2

73

，

2

83

）中的点x 可表示成x=0.013x 4x …或

x=0.213x 4x …，其中3x ，4x ，…是0，1，2中任一数字。而区间端点则采用（不出现数字1）：

2

13=0.0022…，2

73=0.2022…， 22

3

=0.0200…，2

8

3

=0.2200…。

如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，0G 中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于0G 。因而0P 与集

A={0. 1x 2x 3x …：每个k x {0，2}}

成一一对应。且A 显然与[]0,1对等，故A 的势为À，从而0P 的势为À。 （5）m 0P =0

证明：因为0G 是开集由测度的定义有

m 0G =

13

+

2

23

+…++=1

m 0P =1- m 0G =1-1=0

我们得到0P 是一个测度为零的不可列集。 （6）0P 是稀疏集

因为0P =0P ，不能包含R 中的任何一个邻域，所以0P 不在R 中的任何一个邻域中稠密，故0P 是稀疏集。

康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。 参考文献：

【1】 郑维行 王声望编，实变函数与泛函分析概要（第三版）第一册，

北京：高等教育出版社，2008.

【2】 胡长松主编，实变函数，北京：科学出版社，2002.