工程数学_概率统计习题全解_同济大学_高等教育出版社 1

45 5 1 2 k 45 44 5 3! 99 P ( A) n 50 49 48 2! 392 50 3 2．一口袋中有 5 个红球及 2 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后， 再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解 本 题 是 有 放 回 抽 取 模 式 ， 样 本 点 总 数 n 7 2 . 记 (1)(2)(3)(4) 题 求 概 率 的 事 件 分 别 为 A, B, C , D . 25 5 (ⅰ)有利于 A 的样本点数 k A 5 ，故 P ( A) 49 7 5 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B 5 2 ，故 P ( B ) 2 49 7 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数 k C 2 5 2 ，故 P (C ) 49 7 5 35 5 (ⅳ) 有利于 D 的样本点数 k D 7 5 ，故 P ( D) 2 . 49 7 7
8．设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴、 y 轴及直线 x y 1 所围成的三角形内，而落在这三 角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线 x 1 / 3 的左边的概率。
1
SA
解 记求概率的事件为 A ，则 S A 为图中阴影部分，而 | | 1 / 2 ，
2
y
1 1 2 1 5 5 | S A | 2 2 3 2 9 18 最后由几何概型的概率计算公式可得 | S | 5 / 18 5 O P ( A) A . || 1/ 2 9 9． （见前面问答题 2. 3） 10．已知 A B ， P ( A) 0.4 ， P ( B ) 0.6 ，求
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3．一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求：(1) 最 小号码是 3 的概率；(2) 最大号码是 3 的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数 n 6 5 . (ⅰ) 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3，因而有利 23 1 样本点数为 2 3 ，所求概率为 . 65 5 (ⅱ) 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为 2 2 ， 2 2 2 所求概率为 . 6 5 15 4．一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取 2 次， 每次取 1 只，试求下列事件的概率： (1) 2 只都合格； (2) 1 只合格，1 只不合格； (3) 至少有 1 只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 A, B, C ，则 4 2 4 3 2 2 P ( A) 6 6 5 2 5 2
4 2 1 1 4 2 2 8 P( B) 65 15 6 2 注意到 C A B ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知 2 8 14 P (C ) P ( A) P ( B ) 5 15 15 5．掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为 7；(2) 点数之和不超过 5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为 A, B, C ,样本点总数 n 6 2 (ⅰ) A 含样本点 (2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 P ( A) 2 6 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 P( B) 2 18 6 ( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。 18 1 P (C ) 36 2 6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住 8 人， 试求这三名学生住不同宿舍的概率。 解 记 求 概 率 的 事 件 为 A ， 样 本 点 总 数 为 53 ， 而 有 利 A 的 样 本 点 数 为 5 4 3 ， 所 以 5 4 3 12 . P ( A) 25 53
(4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ； (6) 不多于一个事件出现（记为 E 6 ） ； (7) 不多于两个事件出现（记为 E 7 ） ； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为 E8 ） 。 解 (1) E1 AB C ； (3) E3 ABC ； (5) E5 A B C ； (2) E 2 ABC ； (4) E 4 A B C ； (6) E 6 A B C AB C A BC A B C ；
习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 A {两次出现的面相同} ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 A { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 A { 寿命在 2000 到 2500 小时之间}。 解 (1) {( , ), (,), (, ), (,)} ， A {( , ), (,)} . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 { X k | k 0,1,2, } ， A { X k | k 0,1,2,3} . (3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时） ，则 { X (0, )} ， A { X (2000, 2500)} . 2. 袋中有 10 个球， 分别编有号码 1 至 10， 从中任取 1 球， 设 A {取得球的号码是偶数}，B {取 得球的号码是奇数}， C {取得球的号码小于 5}，问下列运算表示什么事件： (1) A B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C ；(6) B C ；(7) A C . 解 (1) A B 是必然事件； (2) AB 是不可能事件； (3) AC {取得球的号码是 2，4}； (4) AC {取得球的号码是 1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) A C {取得球的号码为奇数，且不小于 5} {取得球的号码为 5，7，9}； (6) B C B C {取得球的号码是不小于 5 的偶数} {取得球的号码为 6，8，10}； (7) A C AC {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为 6，8，10} 1 1 3 3. 在区间 [0 , 2] 上任取一数，记 A x x 1 ， B x x ，求下列事件的表达式： 2 2 4 (1) A B ；(2) A B ；(3) AB ；(4) A B . 1 3 解 (1) A B x x ; 2 4
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件 A ： “其中恰有一位精通英语” ； (2) 事件 B ： “其中恰有二位精通英语” ； (3) 事件 C ： “其中有人精通英语” 。 5 解 样本点总数为 3
2 3 1 2 2 3 3! 6 3 ； (1) P ( A) 5 4 3 10 5 5 3 2 3 2 1 3 3! 3 ； (2) P ( B ) 5 4 3 10 5 3 (3) 因 C A B ，且 A 与 B 互斥，因而 3 3 9 . P (C ) P ( A) P ( B ) 5 10 10
1 1 1 3 (2) A B x 0 x 或 1 x 2 B x x x 1 x ; 2 2 2 4 (3) 因为 A B ，所以 AB ； 1 3 1 1 3 (4) A B A x 0 x 或 x 2 x 0 x 或 x 1或 x 2 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ；
(7) E 7 ABC A B C ；(8) E8 AB AC BC .
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第 i 次 抽到废品” ， i 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) (2) (3) (4) (2) 解 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； 只有第一次抽到废品； 三次都抽到废品； 至少有一次抽到合格品； 只有两次抽到废品。 (1) A1 A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ； (4) A1 A2 A3 ； (5) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 .

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1/3 图 2.3 1
x
(1) P ( A ) , P ( B ) ；(2) P ( A B ) ；(3) P ( AB) ；(4) P ( B A), P ( A B ) ；(5) P ( A B ) . 解 (1) P ( A ) 1 P ( A) 1 0.4 0.6 ， P ( B ) 1 P ( B ) 1 0.6 0.4 ； (2) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) 0.6 ； (3) P ( AB) P ( A) 0.4 ； (4) P ( B A) P ( A B ) P ( ) 0 , P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 0.6 0.4 ; (5) P ( A B ) P ( B A) 0.6 0.4 0.2. 11． 设 A, B 是两个事件， 已知 P ( A) 0.5 ，P ( B ) 0.7 ，P ( A B ) 0.8 ， 试求 P ( A B ) 及 P ( B A). P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB) ， 因 而 P ( AB) P ( A) P ( B ) 解 注 意 到 P ( A B ) 0.5 0.7 0.8 0.4 . 于 是 ， P ( A B ) P ( A AB) P ( A) P ( AB) 0.5 0.4 0.1 ； P ( B A) P ( B AB) P ( B ) P ( AB) 0.7 0.4 0.3 .
习题二解答
1．从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率。 50 解 这是不放回抽取，样本点总数 n 3 ，记求概率的事件为 A ，则有利于 A 的样本点数 45 5 k 2 . 于是 1
6. 接连进行三次射击，设 Ai ={ 第 i 次射击命中 } ， i 1,2,3 ， B { 三次射击恰好命中二次 } ， C {三次射击至少命中二次}；试用 Ai 表示 B 和 C 。 解
B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 C A1 A2 A1 A3 A2 A3