初中数学 函数 教学课件
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(kg)
弹簧长度 10.5 11 11.5 12 12.5
(cm)
L=10+0.5x
上述三个问题有什么共同之处？
1、都有两个变量。 2、其中的一个变量取定 一个值，另一个变量的值也 唯一确定。
观 察
（1）下图是自动测温仪记录的图象，随着时间t的
变化，气温T也随之变化．对于时间t每一个确定的值，
温度T都有唯一确定的对应值吗？
八年级 数学
14.1 变量与函数
第十一章 函 数
思考：1.每个问题中有几个变量？
问题一 2.同一个问题中的变量之间有什么联系？
汽车以60千米/时的速度匀速行驶， 行驶里程为s千米，行驶时间为t小时， 先填写下表，再试着用含t的式子表示s。
t/时 1
2
3
4
5
s /千米 60 120 180 240 300
如何确定自变量的取Fra Baidu bibliotek范围？
在二次根号中要使得被开方数≥0； 在分母中要使得分母不等于0； 除了以上两种情况，自变量的取值范围 都是任何实数； 在实际应用题中，还要考虑自变量的实 际意义．
练一 练
一根长 18cm 的蜡烛，点燃后每小时燃烧 5cm，求燃烧后剩下的高度 h(cm) 与燃烧时间 t(h)的关系，并求出自变量的取值范围．
(5) y=3x2-8x+6． 是
(2) x2+2y2=10； 否
(4) |y|=x－5； 否
x(x≥0) (6)y=
是
－x(x＜0)
（1）在计算器上按照下面的程序进行操作： 输入x（任意一个数）
按键 × 2 + 5 =
显示y（计算结果）
x
1
3 －4 0 101
y
7
11 －3 5 207
问题：显示的数y是x的函数吗？为什么?
解：根据题意，燃烧时间（单位：t）是自变量， 蜡烛燃烧后剩下的高度h（单位：cm）是t的函 数，它们的关系为
h=18－5t． 因为h≥0，所以18－5t≥0．
所以 t≤3.6． 所以自变量的取值范围是0≤t≤3.6．
课堂小结
1．基本定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有 两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们说y是x的函 数．
用含t的式子表示s S = 60t
八年级 数学
14.1 变量与函数
第十一章 函 数
问题二
每张电影票的售价为10元，如果早场售 出票150张，日场售出票205张，晚场售出票 310张，三场电影的票房收入各多少元 ？ 设 一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样 用含x的式子表示 y?
早场票房收入 = 10×150 = 1500 （元） 日场票房收入 = 10×205 = 2050 （元）
关系式是____Y_=__1_n0_6_________。
2. 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形
的面积也随之发生了变化. 解：（1）面积s随高h变化的关系式s =
5h 2
，
其中 h 是自变量， s 是 h 的函数；
（2）自变量的取值范围是_h____0_，
（3）当h=3时，面积s=__7_.5___， （4）当h=10时，面积s=___2_5__；
畅所欲言
• 你能举出一些函数的例子吗？
例1、写出下列各问题中的关系式，并指出 其中的自变量与函数
（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
S=x2
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕
地面积y随着人数x的变化而变化 y 106 x
（3）正多边形的内角和度在数关y随系边式数中n的变化情况
4) 考虑全面，取公共解.
注：对于实际问题,其自变量的取值范围 还应使实际问题有意义
4.用60m的篱笆围成矩形，使矩形一边靠
墙，另三边用篱笆围成.
墙
a
请写出矩形面积s（m2）与平行于墙的一边长
a（m）的关系式,并写出a的取值范围。
60-a
S=a
2
(0 a 60)
回顾与反思
数学日记：
年月 学习课题 ：
试写出用自变量表示函数的式子。 （1）改变正方形的边长X，正方形的面积S随之改变。
___x____是自变量，__s___是___x___的函数， 关系式是____S_=__x_2__________。
（2）秀水村的耕地面积是106 m2 ,这个村人均占有耕地面积y随这个 村人数n的变化而变化。
__n_____是自变量，__y___是___n___的函数，
（2）下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表 示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两 个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的对应值吗？
y
o
x
（3）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数 可以记作两个变量x与y， 对于表中每一个确定的年 份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？
3 . 下列各式中，请判断ｙ是不是ｘ的函数，为什
么？ 若是，求出自变量的取值范围。 说明:自变量取值范围的确定方法：
1) y=8x
1)整式:全体实数.
2) y x
x 1
2)自变量在分母位置:使分母不等于0.
3) y x 3 3)开平方中：被开方数为非负数.
4) y 2x 1
x2
5) y2 = x
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 400
(3)当 x = 300时,函数 y 的值为:y=40－0.1×300=10
因此,当汽车行驶300 km时,油箱中还有油10L.
5．我市出租车计费标准如下： 行程不超过2千米， 收费6元；超过2千米部分，按每千米1.60元计 算．求车费和行驶路程之间的函数关系式，并分 别求出当路程为1千米和8千米时应付的车费．
其中x是自变量，当x取某值时所对应的y的 值是函数值．
2．列函数解析式；
3．函数关系式中自变量的取值范围的确 定
（1）整式中的自变量取任意实数； （2）分式中的分母不能为零； （3）二次根式中的被开方式大于或等于零； （4）使实际问题有意义；
1. 一辆汽车的油箱中现有汽油40L，如果不
再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行
自变量: 是指在他的取值范围内可以随心所欲的，
自由自在的取它想取的值，看这概念够贴切了吧.
因变量: 这个“因”字是指因x的变化，通过一定的
关系而得到的. 说明:对于自变量x的每一个值,变量y必须都有唯一的 值与它对应.
如y2=x(x﹥0)中,当x=16时, y对应的值为4或-4,不唯一, 则y不是x的函数
③ y要通过与x之间的关系求 得，并且 有唯一的值与x相对应;
④ 取值的变量叫自变量，通过 一定的 关系随自变量变化而变化的变量叫自 变量的函数.
⑤自变量与函数是可以互相转化的，是 相对的，但一般情况下约定y是函数， x是自变量.
函数的概念：
1. 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应， 那么我们就说 x是自变量 ，y是因变量（或y是x的函数）。
2. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的 函数值。
例如在问题1中，时间t是自变量，里程s是t的函数。
t=1时，其函数值为60；t=2时，其函数值为120。
解：设出租车行驶路程为x千米，要付的车费 是y元，则由题意得：
（1）当0<x≤2时，y=6元
（2）当x>2时，y=6+1.6(x-2) 即：y=1.6x+2.8
∴x=1时，y=6 ；x=8时，y=15.6． 答：当路程为1千米时应付车费6元；当路程为 8千米时应付车费15.6元．
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数?
晚场票房收入 = 10×310 = 3100 （元）
用含x的式子表示 y : y = 10x
八年级 数学
14.1 变量与函数
第十一章 函 数
问题三
如果弹簧原长10cm。每1kg重物使弹簧伸长 0.5cm，怎样用含重物质量(单位：kg)的式子表示 受力后的弹簧长度(单位：cm)？
悬挂重物的质量 1 2 3 4 5
y=180°一(n般-2情) 况下函数在左,自变量在右 用来表示函数关系的等式叫做函数关系式 也称函数解析式或函数表达式
例2、下列各问题中的变量是否是函数？
（1）y 2x 中的y与x
是
（2）初二某班的同学与号次 是
（3）一天中的气温与时刻
是
（4） y x
不是
例3、求出下列函数中自变量的取值范围
日
星期
自我评价：
天气:
知识归纳与整理：
悄悄话：老师我想对您说：
我的收获与困惑：
1.课本P106 2，3，4 2.预习：函数的图象
今日作业
【对于函数的定义的理解】
① 在某个变化过程中有变量且应为两个；
② 对于x的每一个值是指在 x 允许的取
一般地，在一
值范围内取值；
个变化过程中有两 个量，例如 x 和 y. 如果对于x的每一个 值 y 都有唯一值与 之对应，我们说x是 自变量， y是 x 的 函数.
（1）y=2x
x为任何实数
（2） m n 1
n≥1
（3）y 3 x2
（4）h 1 k k 1
(5)、y x 1 3 x2
x≠－2
k≤1且k ≠－1 中的x取值范围是 x≥－1且x≠2 。
练一 练
1．指出下列变化关系中，哪些y是x的函数，哪 些不是？
(1) xy=8；
是
(3) x+y=4； 是
驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗
油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围。 （3）汽车行驶300 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为: y = 40－0.1x (2) 由x≥0及40－0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 400
弹簧长度 10.5 11 11.5 12 12.5
(cm)
L=10+0.5x
上述三个问题有什么共同之处？
1、都有两个变量。 2、其中的一个变量取定 一个值，另一个变量的值也 唯一确定。
观 察
（1）下图是自动测温仪记录的图象，随着时间t的
变化，气温T也随之变化．对于时间t每一个确定的值，
温度T都有唯一确定的对应值吗？
八年级 数学
14.1 变量与函数
第十一章 函 数
思考：1.每个问题中有几个变量？
问题一 2.同一个问题中的变量之间有什么联系？
汽车以60千米/时的速度匀速行驶， 行驶里程为s千米，行驶时间为t小时， 先填写下表，再试着用含t的式子表示s。
t/时 1
2
3
4
5
s /千米 60 120 180 240 300
如何确定自变量的取Fra Baidu bibliotek范围？
在二次根号中要使得被开方数≥0； 在分母中要使得分母不等于0； 除了以上两种情况，自变量的取值范围 都是任何实数； 在实际应用题中，还要考虑自变量的实 际意义．
练一 练
一根长 18cm 的蜡烛，点燃后每小时燃烧 5cm，求燃烧后剩下的高度 h(cm) 与燃烧时间 t(h)的关系，并求出自变量的取值范围．
(5) y=3x2-8x+6． 是
(2) x2+2y2=10； 否
(4) |y|=x－5； 否
x(x≥0) (6)y=
是
－x(x＜0)
（1）在计算器上按照下面的程序进行操作： 输入x（任意一个数）
按键 × 2 + 5 =
显示y（计算结果）
x
1
3 －4 0 101
y
7
11 －3 5 207
问题：显示的数y是x的函数吗？为什么?
解：根据题意，燃烧时间（单位：t）是自变量， 蜡烛燃烧后剩下的高度h（单位：cm）是t的函 数，它们的关系为
h=18－5t． 因为h≥0，所以18－5t≥0．
所以 t≤3.6． 所以自变量的取值范围是0≤t≤3.6．
课堂小结
1．基本定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有 两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们说y是x的函 数．
用含t的式子表示s S = 60t
八年级 数学
14.1 变量与函数
第十一章 函 数
问题二
每张电影票的售价为10元，如果早场售 出票150张，日场售出票205张，晚场售出票 310张，三场电影的票房收入各多少元 ？ 设 一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样 用含x的式子表示 y?
早场票房收入 = 10×150 = 1500 （元） 日场票房收入 = 10×205 = 2050 （元）
关系式是____Y_=__1_n0_6_________。
2. 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形
的面积也随之发生了变化. 解：（1）面积s随高h变化的关系式s =
5h 2
，
其中 h 是自变量， s 是 h 的函数；
（2）自变量的取值范围是_h____0_，
（3）当h=3时，面积s=__7_.5___， （4）当h=10时，面积s=___2_5__；
畅所欲言
• 你能举出一些函数的例子吗？
例1、写出下列各问题中的关系式，并指出 其中的自变量与函数
（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
S=x2
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕
地面积y随着人数x的变化而变化 y 106 x
（3）正多边形的内角和度在数关y随系边式数中n的变化情况
4) 考虑全面，取公共解.
注：对于实际问题,其自变量的取值范围 还应使实际问题有意义
4.用60m的篱笆围成矩形，使矩形一边靠
墙，另三边用篱笆围成.
墙
a
请写出矩形面积s（m2）与平行于墙的一边长
a（m）的关系式,并写出a的取值范围。
60-a
S=a
2
(0 a 60)
回顾与反思
数学日记：
年月 学习课题 ：
试写出用自变量表示函数的式子。 （1）改变正方形的边长X，正方形的面积S随之改变。
___x____是自变量，__s___是___x___的函数， 关系式是____S_=__x_2__________。
（2）秀水村的耕地面积是106 m2 ,这个村人均占有耕地面积y随这个 村人数n的变化而变化。
__n_____是自变量，__y___是___n___的函数，
（2）下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表 示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两 个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的对应值吗？
y
o
x
（3）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数 可以记作两个变量x与y， 对于表中每一个确定的年 份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？
3 . 下列各式中，请判断ｙ是不是ｘ的函数，为什
么？ 若是，求出自变量的取值范围。 说明:自变量取值范围的确定方法：
1) y=8x
1)整式:全体实数.
2) y x
x 1
2)自变量在分母位置:使分母不等于0.
3) y x 3 3)开平方中：被开方数为非负数.
4) y 2x 1
x2
5) y2 = x
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 400
(3)当 x = 300时,函数 y 的值为:y=40－0.1×300=10
因此,当汽车行驶300 km时,油箱中还有油10L.
5．我市出租车计费标准如下： 行程不超过2千米， 收费6元；超过2千米部分，按每千米1.60元计 算．求车费和行驶路程之间的函数关系式，并分 别求出当路程为1千米和8千米时应付的车费．
其中x是自变量，当x取某值时所对应的y的 值是函数值．
2．列函数解析式；
3．函数关系式中自变量的取值范围的确 定
（1）整式中的自变量取任意实数； （2）分式中的分母不能为零； （3）二次根式中的被开方式大于或等于零； （4）使实际问题有意义；
1. 一辆汽车的油箱中现有汽油40L，如果不
再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行
自变量: 是指在他的取值范围内可以随心所欲的，
自由自在的取它想取的值，看这概念够贴切了吧.
因变量: 这个“因”字是指因x的变化，通过一定的
关系而得到的. 说明:对于自变量x的每一个值,变量y必须都有唯一的 值与它对应.
如y2=x(x﹥0)中,当x=16时, y对应的值为4或-4,不唯一, 则y不是x的函数
③ y要通过与x之间的关系求 得，并且 有唯一的值与x相对应;
④ 取值的变量叫自变量，通过 一定的 关系随自变量变化而变化的变量叫自 变量的函数.
⑤自变量与函数是可以互相转化的，是 相对的，但一般情况下约定y是函数， x是自变量.
函数的概念：
1. 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应， 那么我们就说 x是自变量 ，y是因变量（或y是x的函数）。
2. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的 函数值。
例如在问题1中，时间t是自变量，里程s是t的函数。
t=1时，其函数值为60；t=2时，其函数值为120。
解：设出租车行驶路程为x千米，要付的车费 是y元，则由题意得：
（1）当0<x≤2时，y=6元
（2）当x>2时，y=6+1.6(x-2) 即：y=1.6x+2.8
∴x=1时，y=6 ；x=8时，y=15.6． 答：当路程为1千米时应付车费6元；当路程为 8千米时应付车费15.6元．
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数?
晚场票房收入 = 10×310 = 3100 （元）
用含x的式子表示 y : y = 10x
八年级 数学
14.1 变量与函数
第十一章 函 数
问题三
如果弹簧原长10cm。每1kg重物使弹簧伸长 0.5cm，怎样用含重物质量(单位：kg)的式子表示 受力后的弹簧长度(单位：cm)？
悬挂重物的质量 1 2 3 4 5
y=180°一(n般-2情) 况下函数在左,自变量在右 用来表示函数关系的等式叫做函数关系式 也称函数解析式或函数表达式
例2、下列各问题中的变量是否是函数？
（1）y 2x 中的y与x
是
（2）初二某班的同学与号次 是
（3）一天中的气温与时刻
是
（4） y x
不是
例3、求出下列函数中自变量的取值范围
日
星期
自我评价：
天气:
知识归纳与整理：
悄悄话：老师我想对您说：
我的收获与困惑：
1.课本P106 2，3，4 2.预习：函数的图象
今日作业
【对于函数的定义的理解】
① 在某个变化过程中有变量且应为两个；
② 对于x的每一个值是指在 x 允许的取
一般地，在一
值范围内取值；
个变化过程中有两 个量，例如 x 和 y. 如果对于x的每一个 值 y 都有唯一值与 之对应，我们说x是 自变量， y是 x 的 函数.
（1）y=2x
x为任何实数
（2） m n 1
n≥1
（3）y 3 x2
（4）h 1 k k 1
(5)、y x 1 3 x2
x≠－2
k≤1且k ≠－1 中的x取值范围是 x≥－1且x≠2 。
练一 练
1．指出下列变化关系中，哪些y是x的函数，哪 些不是？
(1) xy=8；
是
(3) x+y=4； 是
驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗
油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围。 （3）汽车行驶300 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为: y = 40－0.1x (2) 由x≥0及40－0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 400