相似三角形的证明与计算

相似三角形的证明与计算

1.如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） ．

2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ）

3.如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（ ）

A ． 1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个

4.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ）

A. 只有1个

B. 可以有2个

C. 可以有3个

D. 有无数个

5.如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E.

（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD （2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm （x ＞0）

，四边形BCDP 的面积为ycm 2.

①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值. 25．如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D ． （1）求证：△ADP ∽△BDA ； （2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AD=2，PD=1，求线段BC 的长． 7.如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为4．若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、

AG

与边

BC

的交点分别为

D 、

E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE=a ，CD=b ．(1)请在图中找出三对相似但不全等的三角形．(2)你认为AE 2=ED •EB 吗？请说明理由． （3）求a •b 的值；（4）在旋转过程中，当△AFG 旋转到如图2的位置时，AG 与BC 交于点E ，A

F 的延长线与CB 的延长线交于点D ，那么a •b 的值是否发生了变化？为什么？

E

D C B A

8.已知如图，在平行四边形ABCD 中，DE=BF,求证：DQ CD =PQ PD

.

25、如图Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，E 、D 分别是BC 、AC 上的点，

且∠AED ＝45°（1）求证：△ABE ∽△ECD ；

（2）若AB ＝4，BE ＝2，求AD 长及△ADE 的面积；

（3）当BC=4，在BC 上是否存在点E ，使得△ADE 为等腰三角形，若存在，请求出EC 的长；若不存在，请说明理由．

11.如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ． （1）求证：△APB ≌△APD ；（2）已知DF ：FA=1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ．①求y 与x 的函数关系式；②当x=6时，求线段FG 的长．