南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.2 复数的几种表示

i e
i 2
, 1- i
π i π 4
-
π 4
i
2e
有
( π 2 π 4 )i
i 1- i

e
2

i
1 2
e

1 2
3π
i
e
4
-
1 2

1 2
i.
-
2e
- 1 i
i
1 i
附 一些“简单”复数的指数形式
e 2π i 1 , e 2k π i 1 , e π i - 1 ,
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
§1.2 复数的几种表示
一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示 三、复数的乘幂与方根 四、几个关系
1
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 1. 复平面 P4 章 定义 在平面上建立一个直角坐标系，用坐标为 ( x , y ) 的点来 复 表示复数 z x i y , 从而将全体复数和平面上的全部点 数 与 一一对应起来，这样表示复数 z 的平面称为复平面或者 复 变 z 平面。此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。 函 数
23
π i
-1
1
e
2
i,
-
π 2
i
e
-i,
.
- 1- i
-i
1- i
15
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
P11 例1.5 修改
π
解 由 1
(1
3i 2e
3 i) (-
i
3
,
-
3 - i 2e
π i 3
-
5π 6
i
有
4e
( π 3 5π 6 )i
Arg ( z1 z2
设
z 1 r1 e
i 1
, z 2 r2 e
i 2
,
y
z1 z 2
z2 z1
2 1
z1 z2
x
) Arg z 1 - Arg z 2 .
(在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商； 幅角等于它们幅角的差。 14
§1.2 复数的几种表示 第 例 计算 i . 1- i 一 章 π 复 数 与 复 变 函 数 解 由
3
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 P5 章 将复数和向量对应之后，除了利用 复 实部与虚部来给定一个复数以外， 数 与 还可以借助向量的长度与方向来给 复 变 定一个复数。 函 数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
r
z x yi

O
x
(cos i sin ) cos n i sin n .
进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。
18
§1.2 复数的几种表示
π i 第 1 3 2 3 i (e ) 例 一 2 2 章
2
2π
e
i
3
.
复 数 与 复 变 函 数
1 3 i 2 2 1 3 i 2 2
5π i
复数 z 的三角表示式为 复数 z 的指数表示式为
5π 6
i sin
5π 6
).
z 4e
6
.
12
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 章 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 复 数 iθ iθ 与 乘法 z 1 z 2 r1 e 1 r2 e 2 复 i(θ θ ) 变 r1 r2 e 1 2 . 函 数 即 | z1 z 2 | | z1 | | z 2 | , 设
3 - i ) 2e
4e
π
2e
i
-
5π 6
i
-
π 2
-4 i .
5π 6 7π
1 -
i
3i 3-i

2e
-
3 5π 6 i
e
(
π 3

)i
e
i
6
2e
cos
7π 6
i sin
7π 6
-
3 2
-
1 2
i.
16
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 1. 复数的乘幂 P12 复 数 与 复 变 函 数 定义 设 z 是给定的复数， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为
1 3
- π.
7
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 3. 相互转换关系 P7 章 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 复 2 2 数 |z| x y ; 与 复 变 函 数 y
y
|z|
z x yi
arg z
O
x
x
8
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 3. 相互转换关系 章 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 复 数 (2) 已知模与辐角，求实部与虚部。 与 x | z | cos(arg z ) | z | cos( Arg z ) ; 复 变 y | z | sin(arg z ) | z | sin( Arg z ) . 函 数 由此引出复数的三角表示式。 y
z 1 r1 e
i 1
P10 、 补
z1 z 2
, z 2 r2 e
i 2
,
y
z2 z1
2 1
x
Arg ( z 1 z 2 ) Arg z 1 Arg z 2 . (在集合意义下?)
(集合意义)
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积； 幅角等于它们幅角的和。 13
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 章 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 复 数 iθ z1 r1 e 1 r1 i ( θ 1 - θ 2 ) 与 除法 e . iθ2 z2 r2 r2 e 复 变 z1 | z1 | 函 , 即 数 z2 | z2 |
i 利用欧拉公式 e cos i sin 得
11
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 解 复 数 与 复 变 函 数
|z |
12 4 4 ,
y
2 12 1 3
arg z arctan ( - arctan
π 6
-
) π
12
2
π
π
5π 6
x
π
.
z 4 ( cos
注 复数 0 的模为 0，辐角无意义。 5
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： 复 Arg z 且 - π π , 数 与 则称 为复数 z 的主辐角，记作 arg z . 复 变 由此就有如下关系： 函 数 Arg z arg z 2 k π , k 0 , 1 , 2 , .
10
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 补 章 2. 复数的指数表示 (欧拉公式) 复 数 i z r (cos i sin ) r e . 与 复 变 定义 设复数 z 0 , r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 函 i z r e 为复数 z 的指数表示式。 称 数 注 在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的， 但习惯上一般取为主辐角。
i 复 3 3 具体为： - 2 , 2 e , 2 e . 数 与 复 变 例 求解方程 z 3 - 1 0 . 函 0 2 k i( ) 数 3 3 3 , (k 0 , 1, 2) . 解 z 1 1e 2π i 2π 3 i
-2
2π 3
1
具体为： 1 , e
3
,
2e
.
z zz 记为 z n , 即 z n . 复数 z 的乘幂，
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。 法则 设 z r e i , 则 z n ( r e i ) n r n e i n .
17
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 复 数 由 z n ( r e i ) n r n e i n 以及复数的三角表示式可得 与 n n n z [ r (cos i sin )] r (cos n i sin n ) . 复 变 在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式： 函 数 n
3
π
(e
i
3
)3 eπ i -1 .
i
3
(e
-
π 3
)3 e -π i -1 .
此外，显然有 ( -1)3 -1 . 由此引出方根的概念。
19
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根 P13
复数求方根是复数乘幂的逆运算。 复 n 数 定义 设 z 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 w z 的 与 复 复数 w ， 称为把复数 z 开 n 次方，或者称为求复数 z 的 变 1/n 函 . w n z 或 w z n 次方根，记作 数
2
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 1. 复平面 虚轴 章 z x yi 在复平面上，从原点到点 z x i y y 复 所引的向量与该复数 z 也构成一一 数 x 与 O 实轴 对应关系(复数零对应零向量)。 复 变 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。 函 数 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
n n n n i(


2 k
)ຫໍສະໝຸດ Baidu

n
根的辐角是 ( / n ) . 方法
直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根。
22
§1.2 复数的几种表示
3 第 例 求 -8. π 一 i( 章 解 3 - 8 2e 3

2 k 3
)
, (k 0 , 1, 2) .
π i π
π 3
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z | .
(2) 向量 z 的“方向角” (?)
Arg 称为复数 z 的辐角，记为 z .
4
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 两点说明 复 (1) 辐角是多值的， 相互之间可相差 2 k π , 其中 k 为整数。 数 与 y (2) 辐角的符号约定为： z 复 变 逆时针取正号，顺时针取负号。 函 数 x 例如 对于复数 z - 1 i , 则有 | z | 2 , Arg z 3π 4 2k π , k 0 , 1 , 2 , .
y
|z|
z x yi
arg z
O
x
x
9
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 P9 章 1. 复数的三角表示 y 如图，由 x r cos , y r sin , z x yi y 复 r 有 z r cos i r sin 数 与 r (cos i sin ) . x O x 复 变 函 定义 设复数 z 0 , r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 数 称 z r (cos i sin ) 为复数 z 的三角表示式。
复数 z 的 n 次方根一般是多值的。
20
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根
利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。 复 数 n i n i i i re , z re , w e , 由 wn z 有 e 推导 设 与 复 n 即 (cos n i sin n ) r (cos i sin ) , 变 函 得 n r , n r ; —— 正实数的算术根。 数
n 2k ,

k

n
k k
2 n
, ( k 0 , 1, , n - 1) .
21
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根 复 wk z r e , ( k 0 , 1, , n - 1) . 数 与 描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地 复 变 分布在一个以原点为中心、以 函 n 其中一个 r 为半径的圆周上。 数
6
§1.2 复数的几种表示 第 一 章
2i
-3 - i . 复 解 z 1- i i 数 与 2 2 | z | ( - 3 ) ( - 1 ) 10 , 复 变 -1 函 arg z arctan ( ) -π -3 数
2 (1 - i )
y
π
-3
-π
-1
x
arctan