矩阵在生活中的应用

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矩阵在实际生活中的应用

一.【摘要】

随着科学技术的发展,数学的应用越来越广泛,可以说和我们的生活息息相关。而高等数学中的线性代数,也同样有着广泛的应用。本篇论文中,我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。

【关键词】

高等数学矩阵实际应用

二.应用举例

1.生产成本计算:在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析,以此来对生产过程进行了解和监控,进而对生产进行管理和调控,保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂,这就需要用一些方法对数据进行处理,生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理,这种方法比较简单快捷。

例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1,每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据:每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。

表1.生产单位产品的成本(元)

表2.每种产品各季度产量(件)

解 我们用矩阵的方法考虑

这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示:

通过矩阵的乘法运算得到

MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本; MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本; MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。 MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本; MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本; MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本;

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=101510204030152010

M ⎪⎪⎪⎭

⎝⎛=20004000

3500

250030003700480028002000250030002000N ⎪⎪⎪

⎛=85000120500

110000

87000220000303000352000222000

110000159000178500113500

MN

MN的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。

对总成本进行汇总,每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到,每一季度的总成本可由每一列相加得到。如下表:表3. 总成本汇总表

这样,我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。

2.人口流动问题

例2.假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:(1)在这40万就业人员中,目前约有25万人从事农业,10万人从事工业,5万人经商;

(2)在务农人员中,每年约有10%改为务工,10%改为经商;

(3)在务工人员中,每年约有10%改为务农,20%改为经商;

(4)在经商人员中,每年约有10%改为务农,20%改为务工。

现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多年之后,从事各业人员总数之发展趋势。

解 若用三维向量(x i ,y i ,z i )T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数,则已知(x 0,y 0,z 0)T =(25,10,5)T 。而欲求(x 1,y 1,z 1)T ,(x 2,y 2,z 2)T 并考察在n →∞时(x n ,y n ,z n )T 的发展趋势。 依题意,一年后,从事农、工、商的人员总数应为

即:

以(x 0,y 0,z 0)T

=(25,10,5)T

代入上式,即得:

即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。 以及

即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得:

⎪⎩⎪

⎨⎧++=++=++=0001

000100017.02.01.02.07.01.01.01.08.0z

y x Z z y x Y z y x X ⎪⎪⎪⎭

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0z y x A z y x Z Y X ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛85.105.21111Z Y X ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛85.91.1105.190002

111222z y x A z y x A Z Y X ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111z y x A z y x A Z Y X n

n n n n n n

即n 年之后从事各业人员的人数完全由 决定。

在这个问题的求解过程中,我们应用到矩阵的乘法、转置等,将一个实际问题数学化,进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂,但通过对矩阵的正确应用,我们成功的将其解决。不得不说,矩阵是我们解决实际问题的重要工具。

3. 应用矩阵编制Hill 密码

密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。在密码学中将信息代码称为密码,没有转换成密码的文字信息称为明文,把密码表示的信息称为密文。从明文转换为密文的过程叫加密,反之则为解密。现在密码学涉及很多高深的数学知识。

1929年,希尔(Hill )通过矩阵理论对传输信息进行加密处理,提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。

假设我们要发出“attack ”这个消息。首先把每个字母a ,b ,c ,d ……x ,y ,z 映射到数1,2,3,4……24,25,26。例如1表示a ,3表示c ,20表示t ,11表示k ,另外用0表示空格,用27表示句号等。于是可以用以下数集来表示消息“attack ”:

n

A {}

11,3,1,20,20,1⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=112032011

M

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