2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数(精)
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第四节 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数
1、隐函数的导数 2、对数求导法
二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
复习函数的表示法:
1.直接表示 解析式 y=f(x)x∈D, 这样描述的函数称为显函数. 2 间接表示 (1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数
3 3 y 3 ( x 2) 2 4
即
3x 4 y 8 3 0
1 d2y 例4 求由方程 x y sin y 0 所确定的隐函数的二阶导数 2 2 dx
解: 应用隐函数的求导方法, 得
dy 1 dy 1 cos y 0 dx 2 dx
上式两边再对x求导,得
3 3 法线方程为 y x 2 2
即 y x , 显然通过原点.
II. 对数求导法
观察函数 方法:
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e y x
sin x
.
【直接求导比较繁】
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ---对数求导法
2 2 2 例 x y 1 可确定函数 y 1 x 称为隐函数.
(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:
x x( t ) y y( t )
(t是参数)
I. 隐函数的导数 定义: 设在方程 F ( x , y ) 0 中 , 当 x 取某区
间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y 的值存在, 那么就说方程F ( x , y ) 0在 该区间内确定了一个隐函数y f ( x ) .
3
处的切线方程(图2-6)
解 由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 k y x2
椭圆方程的两边分别对x求导,有 从而
dy 9x dx 16 y
x 2 dy y 0 8 9 dx
3 y 3 代入上式得 当x=2时, 2
dy dx
3 x2 4
于是所求的切线方程为
解出
y
将y回代
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
两边取对数得
两边对x求导得
解出
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0
y f ( x ) 隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导方法:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
dy 例1求由方程 e xy e 0 所确定的隐函数的导数 dx
y
解: 把方程两边分别对x求导数, 注意 y=y(x), d y dy y dy e xy e e y x , 方程左边对x求导得 dx dx dx 方程右边对x求导得 (0) 0 所以
两边对x求导
1 1 1 1 1 1 y y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
于是
y 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x ) v ( x )的情形.
例6
设 y x
sin x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
解：等式两边取对数得
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
于是
dy 2 dx 2 cos y
dy 2sin y 2 4sin y d y dx 3 2 2 (2 cos y ) dx (2 cos y )
1 x y sin y 0 2
上式右端分式中的 y=y(x) 是由方程 所确定的隐函数
例5
设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
f ( x ) u( x )
v( x)
y
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
将y回代
例7 求
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
的导数
解：两边取对数 (假定 x>4 ), 得
1 ln y [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)] 2
解: 把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等, 所以 由此得
dy dy 5y 2 1 21x 6 0 dx dx
4
dy 1 21x 6 dx 5 y 4 2
解出
dy dx
当x=0 时,由原方程得 y=0,
所以
dy dx
x 0
1 . 2
x2 y2 3 例3 求椭圆 1 在点 2, 2 16 9
dy dy e y x 0 dx dx
y
dy y y , ( x e 0) 从而 y dx xe
解出
注意: 在结果中,分式中的y =y(x)是由方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dy dx
e xy e 0
y
所确定的隐函数.
例2 求由方程 y5 2 y x 3 x 7 0 所确定的隐函数在x=0 dy (P105) 导数. 处的 x0 dx
解：方程两边对x求导
3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y x2 y x2 解出 y 2 , y 3 3 2 ( , ) y x y x 2 2
切线方程为
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 y ( x ) 2 2
即 x y 3 0.
一、隐函数的导数
1、隐函数的导数 2、对数求导法
二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
复习函数的表示法:
1.直接表示 解析式 y=f(x)x∈D, 这样描述的函数称为显函数. 2 间接表示 (1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数
3 3 y 3 ( x 2) 2 4
即
3x 4 y 8 3 0
1 d2y 例4 求由方程 x y sin y 0 所确定的隐函数的二阶导数 2 2 dx
解: 应用隐函数的求导方法, 得
dy 1 dy 1 cos y 0 dx 2 dx
上式两边再对x求导,得
3 3 法线方程为 y x 2 2
即 y x , 显然通过原点.
II. 对数求导法
观察函数 方法:
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e y x
sin x
.
【直接求导比较繁】
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ---对数求导法
2 2 2 例 x y 1 可确定函数 y 1 x 称为隐函数.
(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:
x x( t ) y y( t )
(t是参数)
I. 隐函数的导数 定义: 设在方程 F ( x , y ) 0 中 , 当 x 取某区
间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y 的值存在, 那么就说方程F ( x , y ) 0在 该区间内确定了一个隐函数y f ( x ) .
3
处的切线方程(图2-6)
解 由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 k y x2
椭圆方程的两边分别对x求导,有 从而
dy 9x dx 16 y
x 2 dy y 0 8 9 dx
3 y 3 代入上式得 当x=2时, 2
dy dx
3 x2 4
于是所求的切线方程为
解出
y
将y回代
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
两边取对数得
两边对x求导得
解出
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0
y f ( x ) 隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导方法:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
dy 例1求由方程 e xy e 0 所确定的隐函数的导数 dx
y
解: 把方程两边分别对x求导数, 注意 y=y(x), d y dy y dy e xy e e y x , 方程左边对x求导得 dx dx dx 方程右边对x求导得 (0) 0 所以
两边对x求导
1 1 1 1 1 1 y y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
于是
y 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x ) v ( x )的情形.
例6
设 y x
sin x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
解：等式两边取对数得
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
于是
dy 2 dx 2 cos y
dy 2sin y 2 4sin y d y dx 3 2 2 (2 cos y ) dx (2 cos y )
1 x y sin y 0 2
上式右端分式中的 y=y(x) 是由方程 所确定的隐函数
例5
设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
f ( x ) u( x )
v( x)
y
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
将y回代
例7 求
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
的导数
解：两边取对数 (假定 x>4 ), 得
1 ln y [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)] 2
解: 把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等, 所以 由此得
dy dy 5y 2 1 21x 6 0 dx dx
4
dy 1 21x 6 dx 5 y 4 2
解出
dy dx
当x=0 时,由原方程得 y=0,
所以
dy dx
x 0
1 . 2
x2 y2 3 例3 求椭圆 1 在点 2, 2 16 9
dy dy e y x 0 dx dx
y
dy y y , ( x e 0) 从而 y dx xe
解出
注意: 在结果中,分式中的y =y(x)是由方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dy dx
e xy e 0
y
所确定的隐函数.
例2 求由方程 y5 2 y x 3 x 7 0 所确定的隐函数在x=0 dy (P105) 导数. 处的 x0 dx
解：方程两边对x求导
3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y x2 y x2 解出 y 2 , y 3 3 2 ( , ) y x y x 2 2
切线方程为
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 y ( x ) 2 2
即 x y 3 0.