椭圆的弦中点问题-解析版

东光一中 高二 年级 数学 学科课时练

出题人： 许淑霞 出题时间：2015.1.22

椭圆的中点弦问题学案

学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题

掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想

体会两种方法：判别式法与点差法

学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题 学习过程：

一、方法总结：

1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。

2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：

（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。

（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

3、设直线的技巧：

（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。

（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。

（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。 3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求过中点的弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

二、题型复习：

（一）、求过中点的弦所在直线方程问题

例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点p (12,1

2

)且被点p 平分的弦所在直线方程 注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。

（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；

（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

结论：（1） 设椭圆122

22=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则

00

22y x a b k AB

•-=,22

AB op b k k a

=- （2） 设双曲线122

22=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。

（3）设抛物线px y 22

=的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则

0y p

k AB =

。

练习1、过椭圆14

162

2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k

又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是

1

4)

2(82

221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21

4)

2(422

221=+-=+k k k x x ， 解得2

1

-=k ，

故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点，

所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则 1642

121=+y x ， 1642

22

2=+y x ，

两式相减得0)(4)(2

2212221=-+-y y x x ，

所以21)(421212121

-=++-=--y y x x x x y y ，即21

-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。

（二）过定点的弦和平行弦的中点轨迹

例2：已知椭圆12

22

=+y x ，

（1） 过点()0,2P 引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。 （2） 求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。

解法一：设过点()0,2P 的直线方程为)2(-=x k y ，联立方程⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=12

)2(2

2y x x k y ，消去y ，整理得0144212222=-+-⎪⎭

⎫

⎝⎛+k x k x k ，设弦的两个端点为()11,y x A 、()22,y x B ，中

点()y x M ,，

则2

2212142k k x x x +=+=，x

x k 242

-=，代入)2(-=x k y 得()22

1

)2(24)2(2222--=--=

-=x x x x x x k y ，即12)1(22=+-y x 又过点()0,2P 的直线与椭圆相交，所以()()01421442222>-⎪⎭

⎫

⎝⎛+--=∆k k k

解得2102≤

≤k ，即2

1

240≤-≤x x ，解得10<≤x 。 当k 不存在时，不满足题设要求，舍去。 所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是12)1(22=+-y x （10<≤x ）

解法二：设弦的两个端点为()11,y x A 、()22,y x B ，中点()y x M ,，则⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+=+1

2

122222212

1y x y x

两式相减得02

2

2212

221=-+-y y x x ，整理得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ， 由题意知21x x ≠，所以

()AB k y x y y x x x x y y =-=+-+=--2221212121，又2

-=x y

k AB ，所以

y

x

x y 22-=-， 整理得12)1(22=+-y x 。又过点()0,2P 的直线与椭圆相交，与解法一同理可得

10<≤x 。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是12)1(22=+-y x （10<≤x ）